优化目标

相较于之前学习的线性回归和神经网络，支持向量机（Supprot Vector Machine，简称SVM）在拟合复杂的非线性方程的时候拥有更出色的能力，该算法也是十分经典的算法之一。接下来我们需要学习这种算法

首先我们回顾逻辑回归中的经典假设函数，如下图：

对于任意一个实例$(x,y)$，当y=1的时候，我们希望$h_{\theta }(x)\approx 1$，也就是${\theta }^{T}x>>0$；当y=0的时候，我们希望$h_{t}heta(x)\approx 0$，也就是${\theta }^{T}x<<0$。在这种情况下我们才认为算法预测正确了

在之前的学习中，我们了解到Logistics函数的方程如下：

逻辑回归
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{m}\left[\sum _{i=1}^m{y}^{(i)}\left(-log{h}_{\theta }(x^{(i)})\right)+(1-y^{(i)})\left(-log(1-h_{\theta }(x^{(i)})\right)\right]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^{\lambda }{\theta }_j^2$$

很明显，当y=1但是$h_{\theta }(x)\approx 0$，或者y=0但是$h_{\theta }(x)\approx 1$，因为这意味着逻辑回归的假设函数做出了错误的假设，代价函数应该狠狠地惩罚它

对比原来的逻辑回归，SVM的公式如下：
$$\underset{\theta }{\min }C\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}cos{t}_1({\theta }^T{x}^{(i)})+(1-y^{(1)})cos{t}_0({\theta }^T{x}^{(i)})\right]+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^1$$
很明显，前面的中括号是代价函数项，后面的是正则化项，在SVM中，使用参数$C$来控制代价函数和正则化项之间的权重。
其中$cos{t}_1(z)$的图象是

$cos{t}_2(z)$的图形是

这意味着当y=1的时候，我们会希望$\theta x^T\ge 1$，才能使代价函数cost较小。而当y=0的时候，我们会希望$\theta x\le -1$。这样子我们在SVM的(-1,1)中建立了一个安全间距

大间距问题

对于一些间距较大的数据集，存在着多种划分方式，比如下面这种划分方式，虽然满足了条件，但是它的鲁棒性和泛化能力并出色

而下图这种划分方式显然比上面的好：划分边界和被划分的两个点集的距离是接近的，这个距离被称之为间距。显然，上图的划分方法间距就十分小，而下图的划分方式间距就比较大。

对于这些间距较大的数据集的划分，我们称之为大间距问题，而SVM可以很自然地处理大间距问题，将数据集划分成上图所示的样子，这使得SVM有优秀的鲁棒性，因此SVM有时候又称为大间距分类器。这也说明了SVM的划分方式：SVM会将点以最大间距进行分类。

注意：SVM在其参数C设置得十分大的时候会倾向于保持大间距，但是这会使得算法对异常点十分敏感

核函数

注：$||w||$表示一个向量的长度

假设在图上有三个点，分别是$l^{(1)}$,$l^{(2)}$和$l^{(3)}$，如下图所示

我们需要计算某个点x和着三个点的相似度，那么计算方法如下：
$f_1=similarity(x,l^{(1)})=exp\left(-\frac{||x-l^{(1)}|{|}^2}{2{\sigma }^2}\right)$
$f_2=similarity(x,l^{(2)})=exp\left(-\frac{||x-l^{(2)}|{|}^2}{2{\sigma }^2}\right)$
$f_3=similarity(x,l^{(3)})=exp\left(-\frac{||x-l^{(3)}|{|}^2}{2{\sigma }^2}\right)$
其中$||x-l^{(i)}|{|}^2$是x到$l^{(1)}$的欧氏距离

上面所示的$similarity$函数是其中一种核函数，被称之为高斯核函数，可以写作$k(x,l^{(i)})=exp\left(-\frac{||x-l^{(i)}|{|}^2}{2{\sigma }^2}\right)$
分析这个核函数，当$x\approx l^{(1)}$的时候，$||x-l^{(i)}|{|}^2\approx 0$，那么$k(x,l^{(1)})\approx exp(0)=1$；当x和$l^{(i)}$距离很远的时候，由于其欧氏几何距离变得很大，那么$k(x,l^{(i)})=exp\left(-\frac{||x-l^{(i)}|{|}^2}{2{\sigma }^2}\right)=exp\left(-\frac{LargeNumber}{2{\sigma }^2}\right)\approx 0$

接下来我们聚焦于参数$\sigma$对整个核函数的影响，假设$l^{(1)}$位于[3,5]

可以看到，当$\sigma$比较小的时候，其图像变化的幅度更大；反之，其图像则比较平缓

回到最初的图像，如果我们希望如果一个实例x靠近$l^{(1)}$或者$l^{(2)}$的时候，我们就预测其y=1（比如当一张图片上具有某些猫类的特征的时候，我们希望机器学习算法将其分类为猫）。那具体应该怎么做呢？

设定一个假设函数$f(x)={\theta }_0+{\theta }_1{f}_1+{\theta }_2{f}_2+{\theta }_3{f}_3$，其中$f_i=k(x,l^{(i)})$$当$f(x)\geq0$的时候，我们预测y=1。并且令$\theta_0-0.5, \theta_1=1,\theta_2=1,\theta_3=0$，那么会怎么样呢？

当x靠近$l^{(1)}$的时候，$f(x)=-0.5+1+0+0=0.5$，因此我们预测其y=1;而当x靠近$l^{(2)}$的时候，$f(x)=-0.5+0+1+0=0.5$，因此我们预测其y=1

神奇的来了，我们实际上可以画出一个非线性的边界(红线)，在这个边界内$f(x)\ge 0$，也就是意味着算法认为y=1

总而言之，通过高斯核函数可以衡量x到任意点的距离远近，而通过假设函数f(x)将若干个高斯核函数的计算集合在一块，规划出了一个非线性的边界。

使用SVM

现在已经很少人手搓SVM的 $\theta$l了，正如很少人手搓一个数的平方根一样。但是在使用SVM的时候还是需要决定几个关键的参数。比如：

• 选择需要使用的参数C
• 选择SVM使用何种内核

比如不使用任何内核的SVM，称之为线性核函数。当你的实例拥有大量特征，但是训练集数量却不多的时候，可以使用线性SVM核函数来避免过拟合(此种情况也适合使用我们之前说的线性回归法)

另外一个策略是使用高斯核函数，上面已经介绍过了，高斯核函数如下：
$$f_i=exp(-\frac{||x-l^{(i)}||}{{\sigma }^2}),where{l}^{(i)}=x^{(i)}$$这种情况下我们需要对参数$\sigma$进行选择，如果$\sigma$过小，那么得到一个高方差，低偏差的训练器；反之则是一个高偏差，低方差的训练器。当你的数据集数量很大，但是单个数据所拥有的特征量很少的时候，使用高斯核函数是一个不错的选择，因为它可以拟合出相当复杂的非线性决策边界

注意：使用高斯核函数之前，请对特征向量进行归一化，否则会导致在运算中各个特征向量权重不一致

除此之外，还有一些其他的核函数，此处只做简单介绍：
多项式核函数：$kernal(x,l)=(x^{T}l{)}^2$x和l越靠近其内积越大
字符串核函数：用于处理文本的核函数
直方核函数

无监督学习

在无监督学习中，数据集不会含有对数据的标记，只包含数据的特征，也就是如下图：

我们可以看到Training Set中已经没有了$y$，图上的点也没有了标记。而无监督算法的任务就是，找出这些点之间隐含的关系，比如说将上面的点集根据他们之间的距离分类为两个不同的集合。K-Means则是最广泛运用的聚类算法之一，接下来我们将会重点介绍它。

K-Means算法

以下图为例子：

假设我们想要将图上数据分类为两个簇，那么 我们首先要随机选取两个点作为聚类中心（一红一蓝），如下图所示：

接下来它们会重复做两件事：

1. 簇分配
2. 移动聚类中心

首先第一步是将各个点分配给簇。对于任意一个点，检查两个聚类中心和该点的距离，并且将点分配给距离较短的簇，分配的结果如下所示

接下来则是移动聚类中心，对于红聚类中心，我们计算所有红色点的横坐标平均值x1和纵坐标平均值y1，并且将红聚类中心移动到$(x_1,y_1)$处，对蓝聚类中心也进行同样的处理，可得到如下效果：

重复上述步骤若干次，会得到如下结果

此时所有数据都被分类完毕，而且再继续进行迭代，聚类中心也不会发生移动，此时我们认为K-Means已经聚合了。

接下来我们总结一下更加普遍的K-Means算法的执行流程：
输入：

• 整数参数K：表示需要分为K个簇
• 训练数据集$x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)}...x^{(m)},$

1. 随机初始化K个聚类中心${\mu }_1,{\mu }_2...{\mu }_K$
2. 重复迭代如下步骤：
   • 对于$x^{(i)},i\in (1,m)$，求离$x^{(i)}$最近的聚类中心${\mu }^{(j)}$，并且将点$x^{(i)}$归为簇$c^{(j)}$
   • 对于${\mu }^{(k)},k\in (1,K)$，求簇$c^{(k)}$中所有点的均值，并且将${\mu }^{(k)}$移动到该点

有意思的是，哪怕某个数据集中的数据没有明显的边界，聚类算法依旧能进行一定的划分，比如对于衣服尺寸和身高的数据集

K-Means的优化目标函数

优化目标函数能够确保K-Means算法最终得到的结果最佳，确保算法运行正确，也可以用于帮助K-Means避免局部最优解，开始之前，我们先规定几个符号：

• $c^{(i)}$：表示实例$x^{(i)}$所属的簇
• ${\mu }^{(k)}$：表示第k个簇的聚类中心
• ${\mu }_c^{(i)}$：表示实例$x^{(i)}$所属的聚类中心

那么其优化目标函数为：
$$J(c^{(1)}...c^{(m)},{\mu }_1...{\mu }_k)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m||x^{(i)}-{\mu }_c^{(i)}|{|}^2$$
式子后面的$||x^{(i)}-{\mu }_c^{(i)}|{|}^2$表示的是实例$x^{(i)}$到其所属的簇的聚类中心的距离的平方
而我们需要做的是改变$c^{(1)}...c^{(m)}$和${\mu }_1...{\mu }_k$的值，使得$J(c^{(1)}...c^{(m)},{\mu }_1...{\mu }_k)$最小

随机初始化

在初始化聚类中心的时候，上文只提到了随机选取若干个点作为聚类中心