原文出自：球面上随机 N 个点在同一个半球上的概率 

要求任意N个点，全在同一个半球上的概率，我们需要构造使得分母为有限的样本集合，分子则为有N个点在同一半球的情况集

首先对任意N个点取其对称点使得可划分点为2N，在这N对点各取其一，其目的一在于构造有限N点的样本集合（即2^N）,其目的二就是至少存在一个半球，其上可以有N个点（即至少有一种取法可以使这N个点全在一个半球上），我们知道2N个点，不管怎么划分，总有一半至少有N个点。

同时我们知道，对于一种取法，如果可以在一个半球，这个半球数不是唯一的，这时可以想象出接下来的思路——将取法与半球面产生一一对应（因为我们分子上需要的就是取法数），又因d维半球面与过球心切割球面的d-1维平面是一一对应的，实际是寻找切割球面d-1维平面和取法的唯一对应关系

对于d-1维平面的唯一性，我们很容易想到其与垂线的一一对应关系

而过垂线的切割面又可以与同方向旋转至过该点的平面唯一对应（此时该点可以是该半球的“极点”）

然后关于区域数部分，我不知道这个公式是怎么来的，待证

从上图可以看出，对x1、x2，“平面”l经过x1时为“极点”为x1的唯一“平面’，其他的取法以此类推。

我们最终可以把问题转化为经过”极点“的平面数，例如对d=2，N=2时，取法为2*（1+1）

这里的2是因为对称性，而1则是因为，对于d-1维平面（此处为1维平面），需要至少d-1个点来确定（已经确定过球心），那么就需要在剩下的N-1（除去“极点”）个点里取，则为组合数，也就是,然后就是