二进制与十进制转换（包括整数和小数的转换）

二进制转十进制

首先要先了解二进制的含义，与十进制相似，二进制代表的是以2的次幂在每一位上的0/1表示，平时我们经常接触的都是整数的二进制，是从2的0次幂开始的，其实小数位的表示也是使用的2的次幂，时使用的负数次幂。与之对应的负数次幂就是小数。

$2^{3} 2^{2} 2^{1}2^{0}.2^{-1}2^{-2}2^{-3}2^{-4}···$

对应位置的0/1表示就是二进制的整数和小数。然后对应位置求和就是十进制。
例：（二）100.01 = （十）4.25

十进制转二进制

十进制转二进制是算法题中经常考察的题目，通常条件下用正常的模拟手法能解决大部分题目，下面介绍模拟的过程（不含代码），也就是十进制转二进制是的计算方法。

整数位部分的转换

整数位十进制转二进制相对于小数位来说还是非常常见的，方法就是除二取余 这里放上一张计算流程图。图中的每一步都是除2的过程，记下余数，倒序书写即为十进制转为二进制。

推理： $2^{3} 2^{2} 2^{1}2^{0}$ 每次的除2取余过程都是把 $2^{0}$ 这一位换出去，剩下的次幂都减一，不影响二进制的排列（如101011 -> 10101）也就变成了 $2^{0}$ 这一位如果是1 则余1，否则余0

小数位部分的转换

小数位的十进制转换二进制比较少见，甚至有时候见到这里题目猛地不知道怎么解决（这也是写这篇文章的目的）。与整数位的方法非常相似。小数的十进制可以按对应位置求和来表示 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}···$ 因为第一位乘2之后能出来整数位的1，并且后面的次幂加1，和整数位的方法相似。此处有个小小的数学证明 $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}···$ 是小于 $\frac{1}{2}$ 的，这也就保证了，只有第一位为1是才能乘2后出现整数位的1。图例是一个小数的转换过程：这里与整数位方法不同的是，我们每次乘2后的计算结果就按小数点后第一位开始填写。并且每次乘2后出现整数位1后要减去1之后再进行接下来的运算。