整数运算

加法与减法

加减法不溢出的情况：

• 加法：当不同符号的操作数相加时，不会发生溢出，因为总和一定不会大于其中一个的操作数。例如：$-10+4=-6$。
• 减法：当符号相同的操作数相减时，不会发生溢出，因为总和一定不会大于其中一个的操作数。例如：$-10-(-4)=-10+4=-6$。

加减法溢出的情况：假设字宽为 64 位，当加或减两个 64 位的数字可能产生一个需要 65 位才能表示的结果。也就是说符号位会错位，即符号位是错误值。

溢出发生时的各种情况组合：

假设字宽为 8 位，即有符号数据范围为 -127~128
70+80
  01000110
+ 01010000
——————————
  10010110 = 150
150 达到上溢条件，因为有符号位，所以实际值为 -22

-70+(-80)
  10111010
+ 10110000
——————————
 101101010
超出 1 位，将最高位舍弃，保留 01101010，因此实际值位 106

无符号溢出检测：如果总和小于加数中的任何一个，则加法溢出，而如果差大于被减数，则减法溢出。

乘法

普通十进制乘法

$1000\times 1001$ 都是十进制，第一个操作数为被乘数，第二个操作数为乘数，最后的结果为积。规律：每次从右到左选择乘数中的一位，用这一位乘上被成数，然后将所得到的中间结果相对于前一位的中间结果左移一位。

硬件中实现步骤

例子

乘法器的设计

除法

普通十进制除法

$1001010÷1000$ 第一个操作是为被除数，第二个操作数为除数，结果称为商，随之产生附带结果叫做余数。它们之间个关系：
$$被除数=商\times 除数+余数$$

硬件中实现步骤

例子

除法器的设计

浮点数运算

科学计数法、规格化数

$0.000000001=>1.0\times 10^{-9}$

$3155760000=>3.15576\times 10^9$

以上两种就是科学计数法表示形式，该记数法在小数点左边只有一个数字。

科学记数法中整数部分没有前导零的数字称为规格化数。例如 $1.0\times 10^{-9}$ 是规格化数，但 $0.1\times 10^{-8}$ 和 $10.0\times 10^{-10}$ 不是。

我们也可以像用科学记数法表示十进制一样来表示二进制：
$$(0.1{)}_2=>1.0_2\times 2^{-1}$$
Tips： 小数点左边必须只剩一个非零数。

浮点表示

单精度浮点数

符号	位数	备注
S	1	表示该浮点数是否有符号。
E	8	指数，可以是负数的补码，偏移值为 127。
F	23	有效数位最左边的“1”一定存在，因此不存储该位，也就是说有效位是 24 位，实际存储 23 位。

通常可以这么表示：
$$(-1{)}^S\times F\times 2^E$$

双精度浮点数

偏移值为：$2^{10}-1=1023$

通常可以这么表示（注意：和上面单精度只是写法不同，实际上是一样的）：
$$(-1{)}^S\times 2^E\times 1.M$$
fraction：小数部分（包含小数点）。
mantissa：尾数（小数点后面的数值）。

移码表示法

移码（英语：Offset binary）是一种将全0码映射为最小负值、全1码映射为最大正值的编码方案。通常对于n位二进制数，偏移量为 $2^n-1$。

移码在逻辑比较操作中可以得到和真值比较相同的结果，补码则当且仅当符号相同时逻辑比较操作的结果和真值比较相同，否则比较结果将颠倒（负值比正值大）。

例如：比较 120 和 -120 的大小。

 120 => 01111000 原码
-120 => 10001000 补码
二进制比较规则：从左到右依次比较，若一样则跳过该位，继续比较下一位，若某一方为 1 则大。
可以发现，得到的结果是 -120 > 120 错误结果，并不是我们想要的。

接下来对 -120 用移码表示，移码=原数的补码+偏移值。

-120 移码：
= 10000000B + (-1111000B)
= 10000000B + (10001000B)
= 00001000B

Tips: 这样的移码也可以叫做偏移值为 128 的移码，也是标准移码，

最后再次进行比较：

 120 => 01111000 原码
-120 => 00001000 移码
得到正确结果 120 > -120

移码主要用于表示浮点数的阶码(即指数)，在浮点数运算中有优势。

IEEE 754

指数偏移值（exponent bias）

IEEE 754 标准规定该固定值为 $2^{n-1}-1$，n 是字宽。

单精度浮点数为例，它的指数域长度为 8，则固定值为 $2^7-1=127$，且该指数允许负数，则数据范围可取 $[-126,127]$（127 和 128 被用作特殊值处理）。

例如指数实际值为 17，那么在单精度浮点数指数域的编码值为 144，即 $144=127+17$。

采用指数的实际值加上固定的偏移值的办法表示浮点数的指数，好处是可以用长度为个比特的无符号整数来表示所有的指数取值，这使得两个浮点数的指数大小的比较更为容易，实际上可以按照字典次序比较两个浮点表示的大小。（详细请看上面“移码表示法”）。

这种移码表示的指数部分，中文称作阶码。

规格化的浮点数

若浮点数中的指数部分的编码值在 $0<E(exponent)<=2^n-2$ 之间，且在科学表示法的表示下，分数部分最高有效位（即小数点左边）是 1，那么这个浮点数称为规格化浮点数。

这个规格化浮点数可表示为：
$$(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-偏移值}$$
在规格化的浮点数下，尾数中隐藏了一位二进制有效位，隐藏了“1”，为了与二进制科学记数法尾数区别，故而 IEEE 754 将 M 称之为有效位数（significant）。

科学记数法的补充：
$$尾数\times 底{数}^{指数}$$
例如：$1.01_2\times 10^8$ 中尾数便是 $1.01_2$，而 IEEE 754 中将 $01_2$ 称为有效位数，而隐藏了小数点前面的 $1$。

单精度规格化浮点数的指数值域为 00000001 到 11111110，分数部分（即小数点后面）则是 000…000 到 111…111（23-bit）。

**Tips：**为什么分数部分从 0 开始？因为规格化浮点数 $1.M$ 隐藏了 1，只存储了 $M$。

例子

由十进制浮点数转为二进制浮点数 -0.75

用二进制小数表示：
$$-0.11_2$$
用二进制科学记数法表示：
$$-0.11_2\times 2^0$$
用二进制科学记数法的规格化形式表示：
$$-1.1_2\times 2^{-1}$$
接下来以单精度通常为例，计算指数：
$$E=指数+偏移量=-1+127=126$$
其单精度表示为：
$$(-1{)}^S\times (1+0.10000000000000000000000_2)\times 2^{126-127}$$
所以 -0.75 的单精度二进制可表示为：

另外，双精度可表示为：

由二进制浮点数转为十进制浮点数

符号位：1，指数字段 126，尾数字段：$1\times 2^{-1}=1/2$，即 0.5。
KaTeX parse error: No such environment: eqnarray at position 8: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲}̲ & & (-1)^S \ti…

浮点运算

浮点加法减法

步骤

例子 —— 十进制 0.5 + 0.4375 使用二进制相加，假设保留 4 位精度。

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 6: 0.5 &̲ = & 1.000_2 \t…

第一步：将指数较小的数（$-1.110_2\times 2^{-2}$）的有效数位右移，直到其指数与较大的数相同。
$$-1.110_2\times 2^{-2}=-0.111_2\times 2^{-1}$$
第二步：将有效位相加。
$$1.000_2+(-0.111_2)=0.001_2$$

$$1.000_2\times 2^{-1}+(-0.111_2\times 2^{-1})=0.001_2\times 2^{-1}$$

第三步：对和进行规格化，并检查上溢和下溢。
$$0.001_2\times 2^{-1}=1.000_2\times 2^{-4}$$
单精度指数的范围是 $[-126,127]$，因为 $-126<=-4<=127$，所以指数合法。

第四步：对和进行舍入。

$1.000_2\times 2^{-4}$ 符合保留 4 位精度的条件。

举个需要舍入的的例子，例如对 $1.0015_{10}\times 10^2$ 保留 4 位精度，现在 $1.0015_{10}$ 是 5 位精度，根据紧跟在第 4 位后一位的数值决定是舍还是入，得到的是 $5$，因此前 1 位进一得到 $1.002_{10}\times 10^2$。

所以和是：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 24: … \times 2^{-4} &̲ = & 0.0001000_…

浮点乘法

步骤

例子 —— 求 0.5 和 -0.4375 的乘积，使用二进制。

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 6: 0.5 &̲ = & 1.000_2 \t…

第一步：将两数移码相加。

第一种方式：不带偏移值，直接加。
$$-1+(-2)=-3$$
第二种方式：使用移码相加，移码表示。
$$(-1+127)+(-2+127)-127=(-1-2)+(127+127-127)=-3+127=124$$
第二步：有效数位相乘。

每个操作数小数点右侧有三位数字，因此乘积的小数点应该放在从右数第 6 位有效位前面：
$$1.110000_2$$
但我们需要保留 4 位有效位：
$$1.110_2$$
算上前面的指数，用二进制科学记数法表示就是：
$$1.110_2\times 2^{-3}$$
第三步：对结果规格化，然后检查已否溢出。

$1.110_2\times 2^{-3}$ 已经是规格化的形式了，因此无需规格化。

$-3$ 符合单精度指数 $-126<=-3<=127$，因此没有溢出。

第四步：因为操作数为“异号得负”，因此将乘积的符号设为负。

所以，乘积为：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 25: … \times 2^{-3} &̲ = & -0.001110_…

参考文献

• 移码
• 单精度浮点
• 双精度浮点
• IEEE 754