第二章计算机算术

数据表示决定了计算机所执行操作的类型，数据从一个位置传到另一个位置的方法，
以及对存储元件的特性要求。
浮点运算是非常重要的，因为它的实现决定了计算机执行复杂图形变换和图像处理的速度，
而且浮点运算对计算的准确度也有很重要的影响。
计算机如何进行加减乘除运算

2.1 数据是什么

数据是 各种各样的信息，如数字、文本、计算机程序、音乐、图像、符号、运动图像、DNA密码，等等。
实际上，信息可以是能够被计算机存储和处理的任何事物。

2.1.1 位与字节

计算机内存储和处理信息的最小单位是位(bit，或比特)。一个比特的值可以是0或1，
它是 不可分的。

数字计算机将信息以 一组或一串比特 (称作字)的形式保存在存储器中。
例如，串01011110表示一个8位的字。

计算机通过高低电压两个等级来存储0和1的状态

目前人们还不能制造出价格便宜的、能够可靠地区分出十个不同电压等级的电路，
只能制造出便宜的、能够区分我们称之为0和1的两个电压等级的电路。

计算机通常不会每次只对一个二进制位进行操作，它们会对一组二进制位进行操作。

8个二进制位为一个字节 (byte)。

一般来讲，计算机能够 同时处理的位数越多，速度就会越快。
随着计算机的速度越来越快，价格越来越低，一台计算机一次能处理的位的组数也越来越多。

2.1.2 位模式

Figure :

上图描述了如何用1位、2位、3位和4位得到一个二进制的值序列。

一个n位的字将得到$2^n$条不同的路径或位模式。

信息表示

一个n位的字将得到$2^n$不同的位模式。

一个n位的二进制字什么也表示不了; 二进制1和0组成的串 没有任何内在含义。

怎样解释一个特定的二进制数只取决于程序员赋予它何种含

指令: 字长为32位或更长的计算机用一个字来表示cpu能够完成的操作。
8位或16位计算机用多个字表示一条指令。其二进制编码与功能之间的关系由设计者决定
数量: 一个字或多个字都可以用来表示数量。

数可被表示为多种格式(如BCD整数、无符号二进制整数、有符号二进制整数、二进制浮点数、
整数复数、浮点复数、双精度整数，等等)。
字符: 字符是一个叫作“字母表”的集合中的元素。
ISO 7位字符码或ASCII码(美国信息交换标准代码)是在计算机工业中应用
得非常广泛的一种编码，

Figure :
- 用7位表示一个字符，一共可以表示 $2^7=128$ 个不同的字符。
- 其中有96个字符是可打印字符。
- 其余32个是不可打印的，用于完成回车、退格、换行等特殊功能。
因为计算机都是面向字节的，它通常可以通过在最高位前补0的方法将7位ASCII码
转换为8位
- ASCII码表的 列号作为编码的高3位，行号作为编码的低4位
  - 例如: 字符"Z"二进制编码为 101 1010
- 扩展ASCII编码
  - 最高位为0: 表示标准ASCII码
  - 最高位是1: 表示新的字符
图像、声音和视觉: 数字计算机处理大量表示声音、静态图像和视频的数据。
- 组成照片的基本单位是像素(picture element)，
  每个像素的大小可以是 8 位(单色)或 24 位(三基)。
- 视频作为 一串静态图像 依次传输，每秒发送60次（60次/s)
- 声音通过波形信号采样

2.2 数字

2.2.1 位置计数法

按照位置记数法，一个n位的整数N的形式表示:

这里$a_i (i=0,1....,n-1)$是与b的i次幂相乘的系数(此处b为基数)。

用小数点将整数部分和小数部分分开，可以对位置记数法进行扩展，使其能表示实数。

一个用基数b的位置记数法表示的数的值被定义为:.

在计算机主要关注下列四种数制

十进制位置记数法不能精确地表示所有小数
同样，二进制也不能精确地表示所有小数

2.3 二进制运算

二进制算术运算的规则与十进制基本相同; 唯一的区别在于，十进制算术运算以10为基数，
每位有10个数字，而二进制运算以2为基数，每位只有2个数字。

Figure :

两个位相加可能产生进位或借位

二进制加法示例

二进制减法示例

小数减去大数时，用大数减去小数，结果取负

二进制乘法示例

两个n位字相乘，将产生一个2n位的积

计算机不是按照上述规则进行计算的。

表示范围、精度、准确性和误差

表示范围(Range): 一个数所能表示的最大值和最小值的差就是它的表示范围。MAX-MIN
精度(Precision): 数的精度是数据表示得有多好的衡量标准之一
准确度(Accuracy): 数的表示值与其的真实值之间的差
误差(Error): 误差 = 真实值 - 测量值

2.4 有符号数

负数可以用很多种不同的方式表示，但计算机设计者选择了3种方法

符号及值表示法
二进制补码表示法
移码表示法。

每种方法都有其各自的优点和缺点。

2.4.1 符号及值表示法

一个n位字可以表示从 $0～2^{n-1}$ 共 $2^n$ 个可能的值。
例如，一个8位的字可以表示 $0,1,2,\cdots,254,255$ 共256个数

如果要表示负数，一种方法是用它的 最高位表示符号。

符号位为 0表示正数
符号位为 1表示负数。

有符号数的值为: $(-1)^S \times M$

S: 符号位的值
M: 数值部分的值

Figure :

n位有符号的表示范围为 $-(2^{n-1}-1)$ 至 $+(2^{n-1}-1)$。

确定是0有两种表示方法；例如在8位有符号数中，0的表示：
$00000000=+0$ 以及 $10000000=-0$

2.4.2 二进制补码

补数概念

补数的定义: 是对于给定的进位制，相加后能使自然数a的位数增加1的最小的数

设 n 位 b 进制数 a，规定如下

b进制数a的关于基数的补数(b的补数): $b^n - a$
b进制数a的关于减基数的补数(b - 1的补数，简称减补数、侪补数): $b^n - a - 1$

在N进制下，求数a的补数的计算方式

对于N进制的自然数 $a=a_ra{r-1}a{r-2}\cdots a_1a_0$
规定数b的各位 $b_i=(N+1)+a_i$为，称数b为 a关于 N+1 的补数

在十进制下求数 2304671 的补数。

令N=9时，自然数 2304671 对应的补数为 7695328
当N=10时，自然数 2304671 对应的补数为 7695328+1=7695329

在二进制下，求1的补数只需简单地将0与1相互替换。求二补数(即补码)，只需要将1的补数加1

二进制的 101010110 对应的1的补数是 010101001。
二进制的 101010110 对应的2补数是 010101001 + 1 = 010101010。

微处理器使用二进制补码系统表示有符号整数，因为它可以将 减法运算转换为对减数的补数的加法运算。

例如：用7加上5的补数就可以完成运算7减去5。

一个数与它的补数之和是一个常数

在n位二进制算术中，数P的补数为Q且 $|P| + |Q| =2^n$

补码: 一个n位二进制数N的补码定义为 $2^n - N$；

当8位二进制数 $N=5=00000101$，
补码 $[N]_补=2^8-N=100000000-00000101=11111011$

首先，对于二进制数来说，只要定好了位长，
进行反码（1的补数）和补码（2的补数）
其实是一件很简单的事情。在纯二进制的表示下，
只有0和1，别无他物。0111(4位)的反码就是1000，
补码就是1001（反码加1）。所谓正负、符号这些人赋予的意义都不存在，
只有二进制数和这些简单操作

在计算机中表示负数，如果用最高位表示符号这种“原码”方式，
虽然有利于人的阅读，但 不利于其本身的计算。
所以系统内部就 把负数统一用“其对应正数的补码”来表示，
而正数自己不用改变。这样变换后，正数虽然形式上没有变，
但与原码相比，含义却变了，因为 符号位已经不再是符号位了，

此时的 正数和负数 都在一致的“补码编码空间”中。。

由于原码空间到补码空间的转化，只需要对负数进行，正数是不用
发生任何变化

正数在计算机“补码编码空间”中的表示和原码一致。
但这绝 不等价于 “对正数进行补码运算，结果是其本身”。

下面来看计算机中补码的运算过程：首先我们将4个数 +5，
-5，+7和 -7 以补码形式表示

+5 = 00000101
-5 = 11111011
+7 = 00000111
-7 = 11111001

下面计算 7 - 5

结果为9位二进制数100000010。如果忽略最左边一位(也叫“进位位”)，
结果为00000010 = +2，这正是我们所希望看到的结果。

下面计算5 - 7

结果为11111110(进位位为0)。我们预期的结果为-2;
即$2^8 - 2=10000000-00000010 = 11111110$ 。
再一次得到了所需要的结果。

考虑n位二进制算术运算 $Z=X-Y$，我们用X加上Y的补数来完成这一运算。
Y的补码为 $2^n - Y$，则有 $Z=X+(2^n-Y)=2^n+(X-Y)$。

也就是说，我们得到了所需要的结果，X-Y，
以及位于最左边的一个并不需要的进位(即 $2^n$)，而这个 进位被丢弃了。

一个数连续两次求补码得到本身

补码的特点

补码是一个真正的互补系统，因为 $+X+(-X)=0$。
补码0被表示为00…0，是唯一的。
补码的 最高位为符号位。

符号位为0，则该数为正
符号位为1，则该数为负。

n位二进制补码数的表示范围为 $-2^{n-1} ~ 2^{n-1}-1$。
对于n=8，补码表示范围为-128～~127。共有$2^8=256$个不同的数
补码加法和减法使用同样的硬件完成，因为补码减法由被减数加上减数的补数实现。

运算溢出: 5位有符号二进制补码数的表示范围为 -16～+15

如果两个正数相加且结果大于15，会超出5位二进制补码的表示范围

如果两个负数相加且结果小于-16，也会超出5位二进制补码的表示范围

2.5 乘法简介

2.5.1 移位运算

先介绍 二进制补码数的算术移位运算

二进制补码左移一位等价于将该数乘2。
- 十进制数39的二进制表示为00100111,
  左移一位得到01001110，对应于十进制数78。
- 有符号二进制补码数11100011表示十进制数–29,
  左移一位之后的结果是11000110，表示十进制数-58。

二进制数右移一位相当于它除以2。
- 00001100(十进制数12)右移一位得到00000110(十进制数6)。
  
  注意，00001101(即13)右移一位也会得到00000110，也是6;
  这是因为移出的 最低位被丢弃 了。
- 为了在移位时保持二进制补码数的 符号不变，右移时应该复制符号位。
  
  考虑11100010(即-30), 右移一位同时保持符号位不变将得到11110001，
  等价于-15。

2.5.2 无符号二进制乘法

人们手动计算乘法过程

数字计算机并没有实现上面的算法，因为这种算法要求计算机存储n个部分积，
然后将它们同时相加。

一种更好的技术是每得到一个部分积时就做一次加法。

一个计算两个n位无符号二进制数相乘的算法。

算法示例

2.5.3 快速乘法

通过 移位和加法 实现的乘法速度很慢。实际的计算机采用了多种方法加快乘法运算的速度。
例如，构造专门的 逻辑阵列直接得到两个数的积 而不必对操作数移位。

与负数相乘

Figure :

使用移位和加法等速度相对较快的操作以避免使用乘法。考虑P乘以10和P乘以9

$10P=2\times (2 \times 2 \times P + P)$: 即将P左移两次，加上P，再将和左移一次。
$9P=2\times 2 \times 2 \times P + P$: 即将P左移三次,加上P得到结果。

借组查找表实现，将两个数相乘所有可能的积都保存在一个只读存储器内,
只需要进行简单查找表就可以确定乘积。

占用空间太大
减少查找表的大小
假设要计算两个16位数A与B的乘积。
可以将16位数A拆分为两个8位数$A_u$和$A_l$，
如果A=1111000010101010，则$A_u=11110000$，$A_l=10101010$。
A可被表示为$A_u x 256 + A$, 同理B也可以这样表示

Figure :

2.5.4 除法

二进制除法和十进制出发计算类似

计算机实现的除法算法--恢复余数除法

唯一需要修改的就是除数与部分被除数的比较方法。
人们用心算进行比较，而计算机必须做减法并检测结果的符号位。
如果减法的 结果为正，则商1，
但若 结果为负，则应商О 并将 部分被除数与除数相加，
将其 恢复为原先的值

Figure :

恢复余数除法示例

Figure :

计算机实现的除法算法--不恢复余数除法

部分被除数减去除数之后，将检测新的部分被除数的符号位。

若为负，则商左移1位，商的最低位补0，并将部分被除数加上除数的二分之一。
若为正，则商左移1位，商的最低位补1，并将部分被除数减去除数的二分之一。

Figure :

不恢复余数除法示例

2.6 浮点数

浮点数即为实数，称为浮点数的原因是小数点在数中 位置不固定。

浮点数存储分成 两部分：数值和小数点在数值中的位置

使用科学计数法来表示浮点数，科学计数法的好处是可以表示很大或者很小的数。

在十进制运算中，科学计数法表示的数字被写成 $尾数×10^{指数}$ 的形式，
二进制浮点数则被表示为 $尾数×2^{指数}$ 的形式。

其中 尾数表示值; 指数表示小数点在数值中的位置

计算机中浮点数运算结果 一般是不确定的。不同芯片对浮点数的出来可能是不同的。

由于浮点数被定义为两个值的积，浮点数的表示并不唯一，需要对其进行规格化。

规格化

为了使表示法的固定部分统一，科学计数法（用于十进制）和浮点表示法（用于二进制)
都在 小数点左边使用了唯一的非零数码，这称为 规范化 。
十进制系统中的数码可能是1～9，而二进制只能是1.

偏置指数(余码系统)：指数使用n位表示；给指数加上一个常熟，使得最小负指数为0

这个常数为: $2^{n-1} - 1$

下图给出了 4位指数 的偏置指数对应关系。

2.6.1 IEEE浮点数

IEEE 754浮点数标准提供了3种浮点数表示

32位单精度浮点数
64位双精度浮点数
128位四精度浮点数

一个32位IEEE 754单精度浮点数可以被表示为下面的二进制位串:
S EEEEEEEE 1.MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

S为符号位，指明这个数是正数还是负数
E为8位偏置指数，指出了小数点的位置，表示尾数扩大或缩小 $2^E$倍
M是23位小数尾数。
- 尾数最前的那个1被省掉了

32位IEEE754浮点数结构

S位为符号位，决定了数的符号。若S=0，该数为正数,若S=1，则该数为负。
指数E将浮点数的尾数扩大或缩小2的E次方倍,并且它的偏置值为127。
非零的IEEE 754标准的浮点数可表示为: $X=(-1)^S\times 2^{E-B}\times 1.F$
- S: 符号位
- E: 偏置值为B的指数
- F: 尾数的小数部分(实际为1.F)

浮点数0表示为: $S=0 E=0 F=0000...000$

IEEE754浮点数格式

非数(Not a Number, NaN): 是IEEE 754标准的一个重要概念。
NaN是IEEE 754标准提供的一个专门符号，
代表IEEE 754标准格式所 不能表示的数。
NaN 的使用和定义是与系统相关的,
可以用NaN来表示所需要表达的任何信息。

Figure :

十进制转为二进制浮点数示例

二进制浮点数转为十进制数

浮点数的特点

接近0的浮点数: 指数为2位;；尾数为2位的浮点数系统

Figure :

浮点数0附近有一块 禁止区，其中的浮点数都是 非规格化的，
因此无法被表示为IEEE标准格式。这个数的指数和起始位都是0的区域，也可用来表示浮点数。
不过，这些数都是非规格化的，其 精度比规格化数的精度低，会导致 渐进式下溢。

IEEE标准的其他特点

缺省的舍入应该 向最近的值舍入。

如果一个数与两个最近的可表示的值的 距离相等，则选择 最低位为0的作为舍入值;
也就是说, 向偶数值舍入。

标准要求必须提供(向0舍入,向正无穷大舍入,向负无穷大舍入)3种舍入模式。
规定了4种比较结果，分别是等于、小于、大于和无序
- 无序,用于一个操作数是NaN数的情形。

规定了5种异常。异常或中断是一种强制计算机进行专门处理机制。

IEEE标准定义的异常有:

操作数不合法——当程序员试图使用一些不合法的操作数
(如 NaN 数，与无穷大数相加或相减时,或求负数的平方根)时,会引发这种异常。
除数为0——当除数为0(因为结果为无穷大)时,会引发这种异常。
上溢——当结果比最大浮点数还大时会引发这种异常。

处理上溢的方法有 终止计算 或 饱和运算(用最大值作为结果)等。
下溢——当结果比最小浮点数还小时会引发这种异常;
结果不准确——当某个操作产生 舍入错误 时会引发这种异常。

2.7 浮点数运算

浮点数时不能直接进行加法运算。

浮点数加法的计算步骤: 先对阶数，尾数相加，结果规格化。

第1步，找出指数较小的那个数。
第2步，使两个数的指数相同。对于指数小的那个数，指数加几，就将尾数右移几位。
第3步，尾数相加(或相减)。
第4步，如果有必要，将结果规格化(后规格化)。

Figure :

因为指数有时与尾数位于同一个字中，在加法过程开始之前必须将它们分离开(解压缩)。
如果两个指数的差大于p+1，这里p为尾数的位数，较小的那个数由于太小而无法影响较大的数，
结果实际上就等于较大的那个数。
结果规格化时会检查指数，看它是否比最小指数小或比最大指数大，
以分别检测指数下溢或上溢。指数下溢会导致结果为0，
而指数上溢会造成错误，可能会要求操作系统介入处理。