群签名

定义

群签名方案是算法组 ${\Pi }_{GS}=(Gen,Sign,Ver,Open)$，

1. $Gen(1^{\lambda },n)$：密钥生成算法，$n$ 为群成员数，输出
   • $gvk$：群公钥，用于验签
   • $gmsk$：主私钥，由管理员持有，用于追踪成员身份
   • $gsk=(gsk[1],\cdots ,gsk[n])$：成员私钥，用于签名
2. $Sign(gsk[i],m)$：签名算法，任意成员可以独立签署消息 $m$，输出签名 $\sigma$
3. $Ver(gvk,m,\sigma )$：验签算法，根据验签通过与否，输出 $0/1$
4. $Open(gmsk,m,\sigma )$：公开算法，如果签名正确，则输出签名者身份 $i$，否则输出 $\perp$

我们说 $\sigma$ 是 $m$ 的正确签名，如果存在 $i\in [1,n]$ 以及随机带 $r$，使得 $\sigma =Sign(gsk[i],m;r)$ 成立。

安全性

群签名的安全性只需两条：完全匿名性、完全可追踪性。其他奇奇怪怪的安全性要求都可以由这两条推出。

• 匿名性实验：

定义敌手的优势为：
$$\begin{array}{rl}Ad{v}_{\Pi ,A}^{anon}(\lambda ,n)& =2\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon}(1^{\lambda },n,U_1)=1\right]-\frac{1}{2}\right|\\ & =\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon}(1^{\lambda },n,1)=1\right]-Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon}(1^{\lambda },n,0)=0\right]\right|\end{array}$$

我们说 ${\Pi }_{GS}$ 是完全匿名的，如果对于任意 PPT 敌手 $A$，优势 $Ad{v}_{\Pi ,A}^{anon}(\lambda ,n)$ 是可忽略的。

• 可追踪性实验：

定义敌手的优势为：
$$Ad{v}_{\Pi ,A}^{trace}(\lambda ,n)=Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{trace}(1^{\lambda },n)=1\right]$$

我们说 ${\Pi }_{GS}$ 是完全可追踪的，如果对于任意 PPT 敌手 $A$，优势 $Ad{v}_{\Pi ,A}^{trace}(\lambda ,n)$ 是可忽略的。

构造

密码学部件：

• 一般签名算法 ${\Pi }_s=(Ge{n}_s,Sign,Ver)$
• 公钥加密方案 ${\Pi }_e=(Ge{n}_e,Enc,Dec)$
• 非交互零知识证明 $(P,V)$

1. 令 $P_0$ 是组管理员。为了让组内的每个成员都可以签名并验证，可以简单地执行 $n$ 次 $Ge{n}_s$，为各个成员生成私钥公钥，将 { v k i } i ∈ I \{vk_i\}_{i \in I} {vki​}i∈I​ 作为群公钥。但是这会泄露成员身份。
2. 我们不再公开公钥，而是在签名时附加上一个证明 $\pi$，使得验签者相信确实存在一个群成员 $i$ 签署了消息。但这有个问题，就是没有证明 $v{k}_i$ 是属于这个组的。
3. 让 $P_0$ 再为每个成员的公钥添加上证书 $cer{t}_i$，同时要证明 $v{k}_i$ 确实是组成员的公钥。但是这必须公布 $cer{t}_i$，又把成员身份泄露了。
4. 因此我们把证书加密后再发布，签名者对于 $m$ 输出 $(C,\pi )$，验签者验证 $\pi$ 确实是对 $m,C$ 之间关系的证明。

环签名

定义

环签名方案是算法组 ${\Pi }_{RS}=(Gen,Sign,Ver)$，

1. $Gen(1^{\lambda })$：密钥生成算法，输出 $(sk,vk)$
2. $Sign(sk,R,m)$：签名算法，验签密钥集合 $R=(v{k}_i,\cdots ,v{k}_n)$（环），任何人可以独立签署消息 $m$，输出签名 $\sigma$
3. $Ver(R,m,\sigma )$：验签算法，根据验签通过与否，输出 $0/1$

若验签通过，那么说明签名是由 $R$ 中的某个 $v{k}_i$ 对应的 $s{k}_i$ 所签署的。与群签名相比，环签名是去中心化的，并且参与者的加入退出很容易。缺点是没法追踪恶意的签名者。

安全性

• 无内部攻击的不可伪造性实验

• 内部攻击的不可伪造性实验

定义敌手的优势为：
$$Ad{v}_{\Pi ,F}^{EUF-CMA}(\lambda )=Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,F}^{euf-corrupt-cma}(1^{\lambda })=1\right]$$

我们说 ${\Pi }_{RS}$ 是**（内部攻击下）不可伪造的**，如果对于任意 PPT 敌手 $F$，优势 $Ad{v}_{\Pi ,F}^{EUF-CMA}(\lambda )$ 是可忽略的。

• 基本匿名性实验：

定义敌手的优势为：
$$\begin{array}{rl}Ad{v}_{\Pi ,A}^{anon}(\lambda )& =2\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon}(1^{\lambda },U_1)=1\right]-\frac{1}{2}\right|\\ & =\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon}(1^{\lambda },1)=1\right]-Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon}(1^{\lambda },0)=0\right]\right|\end{array}$$

我们说 ${\Pi }_{GS}$ 是基本匿名的，如果对于任意 PPT 敌手 $A$，优势 $Ad{v}_{\Pi ,A}^{anon}(\lambda )$ 是可忽略的。

• （有内部攻击的）匿名性实验：

定义敌手的优势为：
$$\begin{array}{rl}Ad{v}_{\Pi ,A}^{anon-corrupt}(\lambda )& =2\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon-corrupt}(1^{\lambda },U_1)=1\right]-\frac{1}{2}\right|\\ & =\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon-corrupt}(1^{\lambda },1)=1\right]-Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{anon-corrupt}(1^{\lambda },0)=0\right]\right|\end{array}$$

我们说 ${\Pi }_{GS}$ 是匿名的，如果对于任意 PPT 敌手 $A$，优势 $Ad{v}_{\Pi ,A}^{anon-corrupt}(\lambda )$ 是可忽略的。

构造

方法一：类似群签名，使用 NIZKP 将一般签名方案转化为环签名方案。

方法二：真的构成一个环 [RST01]，使用 trapdoor OWP 群成员可以在环的某个位置上打开环，然后再关闭环。

设 { H s } \{H_s\} {Hs​} 是 CRHF， { F k , F k − 1 } \{F_k,F_k^{-1}\} {Fk​,Fk−1​} 是 trapdoor OWP，对应的公私钥为 $(pk,sk)$，$\Pi =(Gen,Enc,Dec)$ 是对称加密算法，签名算法如下：

1. 选取 $R=(p{k}_1,\cdots ,p{k}_n)$，包含自己的公钥 $p{k}_j$
2. 计算 $r=H_s(m)$，生成 $k\leftarrow Gen(1^{\lambda };r)$
3. 随机选取 $x_1,\cdots ,x_{j-1},x_{j+1},\cdots ,x_n$，计算 $y_i=F(p{k}_i,x_i),j\ne i$
4. 随机选取 $t_j^{\prime }=v$，计算 $t_{j+1}=Enc(k,t_j^{\prime })$，然后依次计算 $t_{i+1}=Enc(k,t_i\oplus y_i),i=j+1,\cdots ,n,1,\cdots ,j-1$（令 $n+1\equiv 1$）得到 $t_j$，接着求逆 $x_j=F^{-1}(s{k}_j,t_j\oplus t_j^{\prime })$
5. 输出 $(R,t_n,x_1,\cdots ,x_n)$ 作为消息 $m$ 的签名。

盲签名

定义

盲签名方案是算法组 ${\Pi }_{BS}=(Gen,<S,U>,Ver)$，其中 $<S,U>$ 是签名者和用户之间的交互协议，

1. $Gen(1^{\lambda })$：密钥生成算法，输出 $(sk,vk)$
2. $<S(sk),U(vk,m)>$：签名交互协议，签名者输出 $Out=OK/Fail$（签名是否成功），用户输出 $m$ 的签名值 $\sigma$
3. $Ver(vk,m,\sigma )$：验签算法，根据验签通过与否，输出 $0/1$

安全性

• 不可伪造性实验：因为挑战者 $Ch$ 看不到 $m$，因此不能像一般签名算法那样设置一个签名历史记录 $Q_s$ 使得 $m^{\ast }\notin Q_s$，而是需要敌手 $F$ 询问 $k$ 次签名后，应当输出至少 $k+1$ 个不同消息的合法签名。

定义敌手的优势为：
$$Ad{v}_{\Pi ,F}^{EUF-CMA}(\lambda )=Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,F}^{euf-cma}(1^{\lambda })=1\right]$$

我们说 ${\Pi }_{BS}$ 是**（内部攻击下）不可伪造的**，如果对于任意 PPT 敌手 $F$，优势 $Ad{v}_{\Pi ,F}^{EUF-CMA}(\lambda )$ 是可忽略的。

• 盲签实验：

定义敌手的优势为：
$$\begin{array}{rl}Ad{v}_{\Pi ,A}^{blind}(\lambda )& =2\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{blind}(1^{\lambda },U_1)=1\right]-\frac{1}{2}\right|\\ & =\left|Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{blind}(1^{\lambda },1)=1\right]-Pr\left[Exp{t}_{\Pi ,A}^{blind}(1^{\lambda },0)=0\right]\right|\end{array}$$

我们说 ${\Pi }_{BS}$ 是盲的，如果对于任意 PPT 敌手 $A$，优势 $Ad{v}_{\Pi ,A}^{blind}(\lambda )$ 是可忽略的。

构造

密码学部件：

• 一般签名算法 ${\Pi }_s=(Ge{n}_s,Sign,Ver)$
• 公钥加密方案 ${\Pi }_e=(Ge{n}_e,Enc,Dec)$
• 非交互零知识证明 $(P,V)$
• 非交互承诺方案 ${\Pi }_c=(Com,Open)$

盲签名的密钥生成算法 $Gen(1^{\lambda })$ 为：

1. 获得公共随机串 $CR{S}_{ZK}$ 和 $CR{S}_{Com}$
2. 执行 $(p{k}_s,s{k}_e)\leftarrow Ge{n}_e(1^{\lambda })$ 和 $(sk,vk)=Ge{n}_s(1^{\lambda })$
3. 输出公钥 $v{k}_{BS}=(CR{S}_{ZK},CR{S}_{Com},p{k}_e,vk)$，私钥 $s{k}_{BS}=(CR{S}_{ZK},CR{S}_{Com},s{k}_e,sk)$

盲签协议（Blind-signing protocol）$<S,U>$ 构造如下：

验签算法 $Ver(v{k}_{BS},m,(C_{\sigma },\pi ))$ 为：

1. 设置 $x=(C_{\sigma },p{k}_e,CR{S}_{Com},vk,m)$
2. 输出 $V(CR{S}_{ZK},x,\pi )$

其中，NIZKP $<P,V>$ 所证明的关系为：
R L ( x , w ) = 1    ⟺    x = ( C σ , p k e , C R S C o m , v k , m ) w = ( u , v , σ , C ) 1)   C = C o m ( C R S C o m , m ; u ) 2)   1 = V e r ( v k , C , σ ) 3)   C σ = E n c ( p k e , C ∥ σ ; v ) R_L(x,w)=1 \iff \begin{aligned} &x = (C_\sigma,pk_e,CRS_{Com},vk,m)\\ &w = (u,v,\sigma,C)\\ &\textbf{1) }C = Com(CRS_{Com},m;u)\\ &\textbf{2) }1 = Ver(vk,C,\sigma)\\ &\textbf{3) }C_\sigma = Enc(pk_e,C\|\sigma;v)\\ \end{aligned} RL​(x,w)=1⟺​x=(Cσ​,pke​,CRSCom​,vk,m)w=(u,v,σ,C)1) C=Com(CRSCom​,m;u)2) 1=Ver(vk,C,σ)3) Cσ​=Enc(pke​,C∥σ;v)​