---

前言

在实际工程应用中，我们很多时候所能采集的信号并不正好是整周期的。此时若对信号做傅里叶变化，得到的结果中包含着多种频谱分量，而实际上我们只需要分析主要的频率分量即可。另一方面，如果采集到的信号样本有限，将导致频谱的分辨率不够高，这也就意味着所得到的主要的频率分量的误差较大。一种有效的处理方法是在有限的信号样本后面补零，然后再进行傅里叶变化得到信号频谱，此时，就可以得到高分辨率的频谱，使所得到的频率分量更加精确。本文将使用MATLAB仿真的方法，给出具体实现方法。

---

一、仿真分析较少的采集数据

1.MATLAB代码

生成有限信号长度，并进行频谱分析代码如下：

%% 生成余弦波
% 指定信号的参数，频率5Hz，采样频率为32Hz，信号持续时间跨越8个samples。
f = 5;                            % 余弦波的振荡频率，简称频率
fs = 32;                          % 数字信号的采样频率（sampling frequency ），简称采样率
Ts = 1/fs;                        % 采样周期，也即采样值的时间间隔
L = 8;                            % 一个采样值称为一个sample，L为sample的个数
t = (0:L-1)*Ts;                   % 时间向量
x = cos(2*pi*f*t);                % 生成余弦波x

% 画出生成余弦波的时域波形
figure()
plot(t,x,'LineWidth',1.5)
title(['余弦波的时域波形（f=',num2str(f),'Hz，fs=',num2str(fs),' samples/s)'])
grid on
xlabel('t/s')
ylabel('cos(2*pi*f*t)')
%% 单边幅度谱
N = L;                          % N=8
Y = fft(x,N);                   % 信号的傅里叶变换

% 计算信号的双边幅度频谱
P2 = abs(Y/L);

% 计算信号的单边幅度频谱
P1 = P2(1:N/2+1);              % 取出直流到fs/2的频谱分量
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

figure()
stem(0:(fs/N):(fs/2),P1(1:N/2+1),'LineWidth',1.5)    % 画到fs/2对应的点
grid on
title(['余弦波的单边幅度谱（f=',num2str(f),'Hz，fs=',num2str(fs),' samples/s，','N=',num2str(N),')'])
xlabel('频率（Hz）  （单边谱的频率范围0Hz到fs/2）')    % 频率范围0Hz到fs/2
ylabel('频谱幅度|Y|')

2.仿真结果

信号波形如下图所示：

直接使用有限的时域信号样本得到的频谱如下图所示：

代码中设置的信号频率是5Hz，由于采集的信号较少，只有8个样本，所以计算得到的频谱分量并不准确，给出的主要频率分量是4Hz，与真是情况偏差较大。

下面给出提高频率分辨率的方法。

二、高分辨率频谱

1.有限信号样本高分辨率频谱的计算方法

通过在时域有限信号样本后面补0，在进行FFT变换，可以得到高分辨率频谱。代码如下：

%% 通过在序列后面补0增加时域的数据量，进而提高频谱分辨率
N = 64;                         
Y = fft(x,N);                   % 信号的傅里叶变换。在x后面补0，使新序列长度=N

% 计算信号的双边幅度频谱
P2 = abs(Y/L);

% 计算信号的单边幅度频谱
P1 = P2(1:N/2+1);              % 取出直流到fs/2的频谱分量
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

figure()
stem(0:(fs/N):(fs/2),P1(1:N/2+1),'LineWidth',1.5)    % 画到fs/2对应的点
grid on
title(['余弦波的单边幅度谱（f=',num2str(f),'Hz，fs=',num2str(fs),' samples/s，','N=',num2str(N),')'])
xlabel('频率（Hz）  （单边谱的频率范围0Hz到fs/2）')    % 频率范围0Hz到fs/2
ylabel('频谱幅度|Y|')

2.仿真结果

得到的高分辨率频谱如下：

此时，频谱中的主要频率分量是5Hz，和真实的频率一致。

---