高阶数据结构与算法——红黑树の奥秘

news2024/10/17 9:40:39

1.认识红黑树

1.1红黑树的概念

红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊或者⿊⾊。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的

1.2红黑树的规则

1. 每个结点不是红⾊就是⿊⾊

2. 根结点是⿊⾊的

3. 如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点

4. 对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点

1.2红黑树的效率:O(logN)

红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜 ⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格

2.红黑树的实现

2.1红黑树的基本框架

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K,V>* _left;
	RBTreeNode<K,V>* _right;
	RBTreeNode<K,V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):
		_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
	{}
};

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2红黑树的插入

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊，插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则

2. 如果是空树插⼊，新增结点是⿊⾊结点。如果是⾮空树插⼊，新增结点必须红⾊结点，因为⾮空树插⼊，新增⿊⾊结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的

3. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束

4. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。进⼀步分析，c是红⾊，p为红，g必为⿊，这三个颜⾊都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下⼏种 情况分别处理。 说明：下图中假设我们把新增结点标识为c(cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为 g(grandfather)，p的兄弟标识为u（uncle）   

2.2.1变色

c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新分析：因为p和u都是红⾊，g是⿊⾊，把p和u变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点，g再变红，相 当于保持g所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变，同时解决了c和p连续红⾊结点的问题，需要继续往上更新是因为，g是红⾊，如果g的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果g的⽗亲是⿊⾊，则处理结束了；如果g就是整棵树的根，再把g变回⿊⾊

2.2.2变色+单旋

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。 分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题，需要旋转+变⾊

如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则

如果p是g的右，c是p的右，那么以g为旋转点进⾏左单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则

2.2.3变色+双旋

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则 c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。 分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题，需要旋转+变⾊

如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变 ⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则

如果p是g的右，c是p的左，那么先以p为旋转点进⾏右单旋，再以g为旋转点进⾏左单旋，再把c变⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则

2.3验证一棵树是否为红黑树

规则1：枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。

规则2：直接检查根即可

规则3：前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检 查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。

规则4：前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到 ⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值，依次⽐较即可 

bool Check(Node* root, int blacknum, const int retnum)
{
	if (root == nullptr)
	{
		if (blacknum != retnum)
		{
			cout << "有路径的黑色节点个数与其他路径不相同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}

	if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << "存在连续的红色节点" << endl;
		return false;
	}

	if (root->_col == BLACK)
	{
		blacknum++;
	}

	return Check(root->_left, blacknum, retnum)
		&& Check(root->_right, blacknum, retnum);
}
bool IsBalance()
{
	if (_root == nullptr)
	{
		return true;
	}

	if (_root->_col == BLACK)
	{
		return false;
	}

	int retnum = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
		{
			retnum++;
		}
		cur = cur->_left;
	}

	return Check(_root, 0, retnum);
}

所有代码如下 

#pragma once
#include<iostream>

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K,V>* _left;
	RBTreeNode<K,V>* _right;
	RBTreeNode<K,V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):
		_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
	{}
};

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			//根节点为黑色节点
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		if (cur->_parent.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//当父节点存在且是红色
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			//当父节点为爷爷节点的左节点
			//     g
			//   p    u
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				//当叔叔节点存在且也为红色，则将父节点与叔叔节点均置为红色
				//将爷爷节点置为黑色，然后向上依次处理
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				//叔叔节点不存在或者叔叔节点为黑色
				//需要旋转+变色
				else
				{
					//    g
					//  p    u
					//c
					//新增节点在父节点左边
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
						//    p
						//c       g
						//            u
					}
					//    g
					//  p    u
					//    c
					else
					{
						RotateL(parent);
						//     g
						//   c    u
						//p
						RotateR(grandfather);
						//     c
						//  p      g
						//             u
						grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
					}
					break;
				}
			}
			//父节点在爷爷节点的右边
			//      g
			//   u      p
			else
			{
				//当叔叔节点存在且为红色
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//将叔叔节点与父亲节点置为黑色，爷爷节点置为红色
					uncle->_col = parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//向上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				//当叔叔节点不存在或者存在但为黑色
				else
				{
					//     g
					// u       p
					//             c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RorateL(grandfather);
						//左旋
						//      p
						//   g     c
						//u
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					//     g
					// u       p
					//      c
					else
					{
						//右旋
						RotateR(parent);
						//   g
						//u     c
						//         p
						//左旋
						RotateL(grandfather);
						//     c
						//   g    p
						//u
						grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
					}
					break;
				}
			}
		}
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		//subL代表根节点的左子树,subLR则代表该左子树的右子树
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		//避免访问空节点
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}

		//如果传入的根节点是一个子树的根节点则需要将旋转后的根节点重新接入原来的节点
		Node* pParent = parent->_parent;

		//换根,将原来根节点的左节点换为根节点
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (pParent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			//根节点的父亲节点为空
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}
			//重新接入原来的节点
			subL->_parent = pParent;
		}
	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}

		Node* pParent = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (pParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = pParent;
		}
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		if (_root->_col == BLACK)
		{
			return false;
		}

		int retnum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				retnum++;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0, retnum);
	}
private:
	bool Check(Node* root, int blacknum, const int retnum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (blacknum != retnum)
			{
				cout << "有路径的黑色节点个数与其他路径不相同" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blacknum++;
		}

		return Check(root->_left, blacknum, retnum)
			&& Check(root->_right, blacknum, retnum);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

 

 

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