前言

坚持的第8天，因为期末考试，小蓝本放海了n周，从今天开始继续

余数定理

$用f(x)表示多项式$ a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …… + a₁x + a₀

若用一个一次多项式 $x-c$ 作除式去除多项式$f(x)$,余式是一个数$r$，商式为多项式$Q(x)$

$f(x)=(x-c)Q(x)+r$

※ 重点来了，若使$x=c$ 会得 $f(c)=r$, ∴ $x-c除f(x)时，所得的余数为f(c)$,$f(c)=0$对因式分解结果是一个既约多项式有很大帮助。

当$f(c)=0$时， 称$c为多项式f(x)的根$
综上可得到结论
∵$f(c)=0$
∴$x-c是f(x)的因式$
或
∵$x-c是f(x)的因式$
∴$f(c)=0$

有理根求法

说了这么多概念，还没提到有理根的求法。

若使$f(c)=0$且不知道任何有关结论，这无疑是大海捞针，下面提供3步确定有理根求法

第一步

假定$f(x)$是整系数多项式(及所有项的系数均为整数)，$c=p/q（p,q为互质的整数）$

∵ $f(c)=0$
∴ a_n(p/q)ⁿ + a_n-1(p/q)^n-1 + …… + a₁(p/q) + a₀ = 0
等式 2边同乘$q^n$
∴a_npⁿ + a_n-1p^n-1q + …… + a₁pq^n-1 + a₀qⁿ = 0

∵等式右边分别被p和q整除
∴a_n被q整除，a₀被p整除

综上 有理根$c=p/q$的分子p是常数项a₀的因数，分母q是首项系数a_n的因数

第二步(可能有理根多的情况下，可以用)

Q(x)是整系数多项式的证明过程（$f(x)也是整系数多项式$）

判别法：$f(x)$是整系数多项式，经过第一步的处理，如果$q-p$不是$f(1)$的因数时，那么$p/q$不是$f(x)$的根

证明:
假设p/q是$f(x)$的根
$f(x)=(qx-p)Q(x)$
若x=1
$f(1)=(q-p)Q(1)$
∵Q(x)是整系数多项式
∴Q(1)是整数(才有因数)
∴$q-p$不是$f(1)$的因数时，$p/q$不是$f(x)的根$

第三步

若经过前2步仍旧有很多根的可能，直接一一代入

快速识别特殊有理根

情况1

∵$f(x)$的所有系数之和为0
∴$f(x)$的根为1

情况2

∵$f(x)$所有奇次项系数之和 = 所有偶次项系数之和
∴$f(x)$的根为-1

求解

主要运用到拆项和提公因式内容
https://cnbjhacker.blog.csdn.net/article/details/128226734 提公因式
https://cnbjhacker.blog.csdn.net/article/details/128272204 拆项

注意

当$c=p/q(q>1)$（根为分数） $x-p/q推成qx-p$

习题8

题目

题解

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