题目

汉诺塔问题，条件如下：

1、这里有 A、B、C 和 D 四座塔。

2、这里有 $n$ 个圆盘，$n$ 的数量是恒定的。

3、每个圆盘的尺寸都不相同。

4、所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 A 上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。

5、我们需要将所有的圆盘都从塔 A 转移到塔 D 上。

6、每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。

请你求出将所有圆盘从塔 A 移动到塔 D，所需的最小移动次数是多少。

汉诺塔参考模型

输入格式

没有输入

输出格式

对于每一个整数 $n$，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

数据范围

$1\le n\le 12$

输入样例

没有输入

输出样例

参考输出格式

思路

首先考虑 $n$ 个盘子 3 座塔的经典 Hanoi 问题，设 $d[n]$ 表示求解该 $n$ 盘 3 塔问题的最少步数，则有 $d[n]=2\ast d[n-1]+1$，即把前 $n-1$ 个盘子从 A 柱移动到 B 柱，然后把第 $n$ 个盘子从 A 柱移动到 C 柱，最后把前 $n-1$ 个盘子从 B 柱移动到 C 柱。

本题中，设 $f[n]$ 表示求解 $n$ 盘 4 塔问题的最少步数，则：
f [ n ] = m i n { 2 ∗ f [ i ] + d [ n − i ] } ，其中 1 ≤ i < n f[n] = min \{ 2 *f[i] + d[n-i] \}，其中 1 \le i \lt n f[n]=min{2∗f[i]+d[n−i]}，其中1≤i<n

其中 $f[1]=1$，上式的含义是，先把 $i$ 个盘子在 4 塔模式下移动到 B 柱（此时B柱不可再用），然后把 $n-i$ 个盘子在 3 塔模式下移动到 D 柱，最后把 $i$ 个盘子在 4 塔模式下移动到 D 柱。考虑所有可能的 $i$ 取最小值，就得到了该递推公式。

在时间复杂度可以接受的前提下，上述做法可以推广到 $n$ 盘 $m$ 塔的计算。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 13;
void hanoi() {
    int d[N]; //三塔的最少移动步数
    int f[N]; //四塔的最少移动步数
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    
    d[1] = 1; 
    for (int i = 2; i < N; i++) { //先将i个移动到B塔
        //三塔下
        //先将i-1移动到B塔（三塔），再将最后1个移动到C塔（二塔），再将i-1个移动到C塔（三塔）
        d[i] = 2 * d[i - 1] + 1; 
    }
    
    f[1] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) { //总共有多少个盘子
        for (int j = 1; j <= i; j++) { //先选择j个放到B塔
            f[i] = min(f[i], 2 * f[j] + d[i - j]); 
        }
    }
    
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        printf("%d\n", f[i]);
    }
}


int main() {
    hanoi();
    return 0;
}