【力扣】300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：
1 <= nums.length <= 2500
-$10^4$ <= nums[i] <= $10^4$

题解

回溯五步：

• 确定dp数组以及下标的含义
  dp[j] 表示： 第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 nums[i] 必须被选取。

• 确定递推公式
  

• dp数组如何初始化
  dp[0]=1

• 确定遍历顺序
  正常遍历从左到右

• 举例推导dp数组
  输入是：10 9 2 5 3 7 101，输出为：1 1 1 2 2 3 4
  输入是：5 7 1 9 4 6 2 8 3，输出为：1 2 1 3 2 3 2 4 3

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        	// 默认以i为结尾的最长串是1，只有它本身
            dp[i] = 1;
            // 从0 判断到 i
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            // 取dp数组中的最大值
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }
}

计算状态 dp[i] 时，需要 O(n) 的时间遍历 dp[0…i−1] 的所有状态，所以总时间复杂度为 O($n^2$)