算法基础第三章

news2024/10/5 20:28:06

算法基础第三章

  • 1、dfs(深度搜索)
    • 1.1、 递归+回溯
    • 1.2、递归+剪枝（剪枝就是判断接下来的递归都不会满足条件，直接回溯，不再继续往下无意义的递归）
  • 2、bfs(广度搜索)
    • 2.1、最优路径（只适合于边权都相等的题）
  • 3、邻接表存储树和图(邻接表就是单链表 ）
    • 3.1、深度优先遍历（特殊的深搜）
    • 3.2、宽度优先遍历（特殊的宽搜）
    • 3.3、有向图的拓扑序列(有环的有向图不可能是拓扑序列)
  • 4、最短路
    • 4.1、单源最短路
      • 4.1.1、所有边权都是整数
      • 4.1.2、存在负权边
    • 4.2、多源汇最短路
  • 5、最小生成树
    • 5.1、prim算法
    • 5.2、Kruskal算法（稀疏图）
  • 6、二分图
    • 6.1、染色法
    • 6.2、匈牙利算法

1、dfs(深度搜索)

1.1、 递归+回溯

  • 解析：下图为1，2，3三个数的全排列过程，从0层开始，一直往下递归，直到数的个数用完，每次使用了一个数需要将这个数标记为已使用过，回溯的时候再恢复为未使用过。
    在这里插入图片描述
  • 题目链接：一个数的全排列
  • 代码
#include <iostream>
#include<stdio.h>//加了这个头文件时间快了1ms

using namespace std;

const int N = 7;
bool use[N];//这个数被用过的话则记为true，排列的时候位置上只能放没被用过的
int path[N],n;
void dfs(int num)
{
    if(num == n)//输入3,怎有3个空位排列，填满之后就输出
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            printf("%d ",path[i]);
        }
        puts("");
        return;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(!use[i])
        {
            path[num] = i;
            use[i] = true;
            dfs(num + 1);
            use[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    dfs(0);//从0开始
    return 0;
}

1.2、递归+剪枝（剪枝就是判断接下来的递归都不会满足条件，直接回溯，不再继续往下无意义的递归）

  • 解析：
  • 题目链接：n皇后问题
  • 代码：代码并没有全a，路过的大佬可以给个补充
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 20;
int n;
bool col[N],dg[N],udg[N];
long long ret;

void dfs(int num)
{
    if(num == n)
    {
        ret++;
        return;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(!col[i] && !dg[i+num] && !udg[n-num+i])
        {
            col[i] = dg[i+num] = udg[n-num+i] = true;
            dfs(num+1);
            col[i] = dg[i+num] = udg[i-num+n] = false;
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    dfs(0);
    printf("%lld",ret);
}

2、bfs(广度搜索)

//基本框架，伪代码
queue_init;
while(!queue.empty())
{
	t = queue.pop();//弹出队头元素
	queue.push(t.child->node);//这里包括左右子节点
}

2.1、最优路径（只适合于边权都相等的题）

  • 解析：
  • 题目链接：走迷宫
  • 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;

const int N = 1010;
char g[N][N];//存储地图数据
int d[N][N];//存储距离
int n,m,posx1,posy1,posx2,posy2;//传入的行和列数以及起始终止点的位置
PII q[N*N];//数组模拟队列，需要开元素的个数的大小

int bfs(int posx2,int posy2)
{
    int hh=0,tt=0;//队头和队尾指针
    q[0] = {posx1-1,posy1-1};//队列初始化，放入起始位置的坐标

    memset(d,-1,sizeof d);//d初始化为-1，-1表示这个位置还未经过，sizeof(d) = N*N*4,int是个字节，所以乘4
    d[posx1-1][posy1-1] = 0;//起始位置与自己的距离是0

    int dx[4] = {-1,0,1,0},dy[4] = {0,1,0,-1};//四个方向的移动x和y的坐标的变化

    while(hh <= tt)//队列非空
    {
        auto t = q[hh++];//弹出队头元素

        for(int i = 0; i < 4; i++)//四个方向的移动
        {
            int x = t.first + dx[i],y = t.second + dy[i];
            if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == '.' && d[x][y] == -1)//这个点未走过且在边界内且无障碍物
            {
                d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;//这个点与起始位置的点的距离在上一个点的距离上加1
                q[++tt] = {x,y};//从队尾压入新的位置的坐标
            }
            if(d[posx2-1][posy2-1] != -1)//表示到达终止点，返回
            {
                return d[posx2-1][posy2-1];
            }
        }
    }
    return -1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&posx1,&posy1,&posx2,&posy2);
    getchar();
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < m; j++)
        {
            scanf("%c",&g[i][j]);
        }
        getchar();//读取换行符
    }
    printf("%d",bfs(posx2,posy2));
    return 0;
}

3、邻接表存储树和图(邻接表就是单链表 ）

  • 树是特殊的有向图，是无环连通图
  • 无向图也是一种特殊的有向图，是双向的
  • 邻接表的存储代码
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010,M = N*2;
int h[N],e[M],ne[M],idx;

/* a：被插入的节点
 * b：新插入的节点，之后有a指向b的边
 */
void add(int a,int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);//h数组是图里面的节点，初始都是指向-1，也就是相当于nullptr
}

3.1、深度优先遍历（特殊的深搜）

  • 解析：有向图的遍历，深度遍历，逮住一个起点一直往下递归，每个点只遍历一次，直到结束再回溯再递归，一直遍历完所有的点
    在这里插入图片描述
  • 题目链接：未找到对应的题目，贴上acwing原题
    在这里插入图片描述
  • 题目解析：图中的无向图，可以看到左图删除节点1，有三个连通域，大小分别是3，4，1，最大值为4，我们只需要遍历节点1 的子节点就能得到三个大小。右图删除节点4，三个连通域大小分别为5，2，1，上面连通域的大小我们只要求出节点4的子节点数，用总数减去就能得到。那对应的每删除一个节点都有相应的连通域，要求出这些连通域中最大值中的最小值。
    在这里插入图片描述
  • 代码解析：下面的代码初看是有点绕的，图中举了一个较短的例子遍历，可以先把数组的内容全都列出来，假设从1节点开始：1）dfs(1)，i=h[1]=2，j=e[2]=3；2）dfs(3)，i=h[3]=3，j=e[3]=1，continue；3）i=ne[3]=-1；4）i=ne[2]=0，j=e[0]=2；5）dfs(2)，i=h[2]=6，j=e[6]=5；6）dfs(5)，i=h[5]=7，j=e[7]=2，continue；7）i=ne[7]=-1；8）i=ne[6]=4，j=e[4]=4；9）dfs(4)，i=h[4]=5，j=e[5]=2，continue；10）i=ne[5]=-1；11）i=ne[4]=1，j=e[1]=1，continue；12）i=ne[1]=-1结束。遍历的顺序是1->3->-1再返回1，接着1->2->5->-1再返回2，接着2->4->-1再返回2，2再返回1，1->-1结束遍历。可以看到3的ne保存这到2路径，也就是直接从1到2，中间省去了1。
    在这里插入图片描述
  • 代码（acwing源码）
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = N * 2;//因为需要建立两份边，所以 M = 2 * N;

int n;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int ans = N;
bool st[N];
//添加边的模板，要求熟练的默写，这部分的解释在 链表 专题中
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
//返回以u为根的子树中节点的个数，包括u节点
int dfs(int u)
{
    st[u] = true;

    int size = 0, sum = 0;//size存储的是以u为根的数的一个子儿子的节点数的最大值
    //sun存储以u为根的树的节点数, 包括u
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (st[j]) continue;

        int s = dfs(j);    //s存储的就是以 j 为根的子树的节点数，包括 j
        size = max(size, s);  //每次找出最大的子图的节点数
        sum += s;  //以j为根的树的节点数
    }

    size = max(size, n - sum - 1); //求 dfs 遍历的所有子树中最大的节点数的个数和 dfs 未遍历的那棵树的节点数的最大值
    ans = min(ans, size);

    return sum + 1;   //这里返回的个数加上根节点
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a); //处理无向图的添边方式
    }

    dfs(1); //可以选择任意一个点开始进行 dfs，又u <= n，且 n 的最小值为1，所以只能从 1 开始
			//当然本题数据是从 5 开始的，所以对于本题写 dfs (1 ~ 5)均可AC
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

3.2、宽度优先遍历（特殊的宽搜）

  • 解析：套用宽度优先搜索的模板，逮住一个点开始，遍历所有的节点，看保存的节点个数是否和输入的相等，相等的话则是全连通的，否则不是
  • 题目链接：宽度优先遍历
  • 代码
#include <iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010,M = N * 2;//因为无向图需要建立两份边，所以 M = 2 * N;
int e[M],ne[M],h[N];
int n,m,idx;

int bfs()//广度优先遍历
{
    int hh=0,tt=0;//队头和队尾指针
    int q[N];//数组模拟队列
    bool st[N];//是否遍历过标记
    q[0] = 1;//队列初始化，模板步骤
    st[1] = true;//这个元素被遍历过了
    int ret = 0;//保存节点数
    while(hh <= tt)//队列不为空
    {
        int t = q[hh++];//弹出队头
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])//按照边去遍历
        {
            int j = e[i];
            if(st[j])
                continue;
            else
                st[j] = true,ret++,q[++tt] = j;//该节点未被遍历过，则压进队尾，标记被遍历，节点数加1
        }
    }
    return ret+1;//因为开始的节点本身没被算进去，需要加1
}
void add(int x,int y)//无向图的建立，前面已经解释过了
{
    e[idx] = y,ne[idx] = h[x],h[x] = idx++;
}

int main() {
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(cin >> n >> m)
    {
        if(!n && !m)
            break;
        while(m--)
        {
            int x,y;
            cin >> x >> y;
            add(x,y),add(y,x);//建立双边
        }
        if(bfs()==n)
        {
            cout << "YES" << endl;
            memset(h,-1,sizeof h);//因为输入是有很多图的，处理完一个无序图需要重新清空准备处理下一个无序图
            memset(e,0,sizeof e);
            memset(ne,0,sizeof ne);
            idx = 0;
        }
        else
        {
            cout << "NO" << endl;
            memset(h,-1,sizeof h);
            memset(e,0,sizeof e);
            memset(ne,0,sizeof ne);
            idx = 0;
        }
    }
}

3.3、有向图的拓扑序列(有环的有向图不可能是拓扑序列)

  • 入度：一个点有多少指向自己的边
  • 出度：一个点有多少边从自己这出去
  • 解析：当一个图按拓扑序排好之后，起点一定是在终点的前面，如图中所示，当按1，2，3排序就是一个拓扑序列，所有边的起点都在终点的前面。当求解一个有向图是否能够组成拓扑排序的时候，也就是看看能否将所有的节点的入度都处理为0，能的话就能拓扑排序，否则就不能
    在这里插入图片描述
  • 题目连接：拓扑排序
  • 代码
#include <iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 200010;

int e[N],ne[N],h[N];
int d[N];
int n,m,idx;
int q[N];//宽搜的模板队列

void add(int x,int y)//图的构建
{
    e[idx] = y,ne[idx] = h[x],h[x] = idx++;
}

bool tuposort()//拓扑排序
{
    int hh = 0,tt = -1;
    for(int i =1; i <= n; i++)
    {
        if(!d[i])
            q[++tt] = i;//首先把所有入度为0的点压入队列
    }
    while(hh <= tt)//宽搜模板
    {
        int t = q[hh++];//弹出队头，元素还在数组里面，只是用了头尾指针来表示弹出与压入
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])//宽搜遍历，这个是有向图，不会重复遍历
        {
            int j = e[i];
            d[j]--;//该节点的入度减1
            if(d[j] == 0)
                q[++tt] = j;//该节点入度变为0之后就压入队列
        }
    }
    return tt == n-1;//所有的点都能够被入队说明是一个有向无环图，即能构成拓扑排序
}

int main() {
    memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--)
    {
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        add(x,y);
        d[y]++;//保存这个点的入度
    }
    if(tuposort())
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            if(i!=n-1)
                printf("%d ",q[i]);
            else  
                printf("%d",q[i]);//答案最后有一个数不能有空格，有空格提交不成功
        }
    }
    else {
        printf("%d",-1);//无拓扑排序输出-1
    }
}

4、最短路

4.1、单源最短路

  • 求一个点到其他所有点的最短路

4.1.1、所有边权都是整数

  • 朴素Dijkstra：稠密图（邻接矩阵），m(边数)~n^2(点数)
    • 模板：
      • 1.dist[1] = 0，dist[i] = 正无穷
      • 2.for i 1~n(迭代)
        • t<-不在s中的，距离最近的点
        • s<-t；//s是当前已确定最短距离的点
        • 用t更新其他点的距离
    • 题目链接：Dijkstra求最短路径
    • 代码
class Solution {
public:
    int networkDelayTime(vector<vector<int>> &times, int n, int k) {
        const int inf = INT_MAX/2;
        
        //构建邻接矩阵
        int g[n][n];
        memset(g,0x3f3f3f3f,sizeof g);//这里初始化后的值不等于inf
        for(auto &t:times)
        {
            int x = t[0]-1,y = t[1]-1;
            g[x][y] = min(g[x][y],t[2]);
        }
-		
-		//存储距离的数组，初始化为g数组一样的最大值
        vector<int>dist(n,0x3f3f3f3f);//保存距离
        dist[k-1] = 0;//k是出发点，将出发点的距离设为0，数组中的坐标与节点值是-1的关系
        vector<int> st(n,0);//保存是否遍历过的标记
        for(int i = 0; i < n;i++)//这个循环是遍历n个节点
        {
            int t = -1;
            for(int j = 0; j < n; j++)//这个循环是找到出发点
            {
                if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                {
                    t = j;
                }
            }

            st[t] = true;//标记这个点被遍历了

            for(int j = 0; j < n; j++)//这个循环是计算出出发点最到他点的最短距离
            {
                dist[j] = min(dist[j],dist[t] + g[t][j]);
            }
        }
        int ans = *max_element(dist.begin(),dist.end());
        return ans == 0x3f3f3f3f ? -1 : ans;
    }
};
  • 堆优化版的Dijkstra算法：稀疏图（邻接表），m(边数)~n(点数)
    • 解析：堆优化版的改进是在朴素版的基础上，在for循环找到目标最近点用堆来替代，从而减小时间复杂度，题意中可以看到n和m的数量级是相等的，因此是稀疏图，用邻接表来做
    • 题目链接：未找到，acwing原题
      在这里插入图片描述
    • 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;

typedef pair<int,int>PII;

const int N = 1e6+10;

int n,m;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//优先队列定义一个小根堆
    heap.push({0,1});//整个代码就是邻接表加宽搜模板，初始化队列
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();//取出队头
        heap.pop();//弹出队头

        int ver = t.second,distance = t.first;

        if(st[ver])continue;//是否已经遍历过

        for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])//最短路径替换
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);//添加有向边
    }

    printf("%d\n",dijkstra());

    return 0;
}

4.1.2、存在负权边

  • Bellman-Ford算法
    • 模板
      • for n 次
        • for 所有边a，b，w
          • dist[b] = min(dist[b],dist[a]+w)
    • 题目链接：bellman-ford模板算法
    • 代码
class Solution {
public:
    int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int k) {
        int m = flights.size();//写成int m = flights.size()+10; int dist[m],backup[m];会报错
        int dist[m+10],backup[m+10];//为了防止超出数组界限，所以在长度上加10

        memset(dist,0x3f,sizeof dist);
        dist[src] = 0;//从哪个点开始，那个点起始的距离为0
        for(int i = 0; i < k+1; i++)//这里k是中转站点，而不是边数，所以是k+1，因为得加上起点
        {
            memcpy(backup,dist,sizeof dist);//加备份，防止出现串联
            for(int j = 0; j < m; j++)
            {
                auto t = flights[j];
                dist[t[1]] = min(dist[t[1]],backup[t[0]] + t[2]);//防止串联，因为要满足k的限制，所以必须保证不能用这次的更新去更新后面的距离
            }
        }
        if(dist[dst] > 0x3f3f3f3f/2) return -1;
        else return dist[dst];
    }
};
  • SPFA算法
    • 使用宽搜的队列对Dellman-Ford算法的改进
    • 使用SPFA判断负环，也能用于Dijkstra算法解决的最短路径问题
      • 题目链接：判断负环
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 210,M = 2010;
int n,m,a,b,c;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dist[N],cnt[N];
bool st[N];

//使用邻接表构建图
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}

bool spfa()
{
    queue<int>q;
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;//因为能到达的话是输出从1号点到n号点的距离，所以1号点的距离初始化为0
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        st[i] = true;
        q.push(i);//先把所有的点入队列
    }

    while(q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;

        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i])//这个条件保证了是负边环
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;

                if(cnt[j] >= n) return true;//cnt里面存的是边数，如果边数大等于n，那么点数大等于n+1，因为只有n个点，所以一定是有环的
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {

    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    if(spfa())
    	puts("circle");
    else
    {
        if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) 
        	puts("can't arrive!");
        else
            cout << dist[n];
    }
}

4.2、多源汇最短路

  • 源：起点；汇：终点
  • 任选两个点，求这两个点之间的最短路
  • Floyd算法
    • 模板，用邻接矩阵存储边
      • d[i,j]
        • for(k=1;k<=n;k++)
          • for(i=1; i<=m; i++)
            • for(j=1; j<=n; j++)
              • d[i,j] = min(d[i,j],d[i,j] + d[k,j]);//使用了动态规划的原理
    • 题目链接：Floyd算法
    • 代码
在这里插入代码片

5、最小生成树

5.1、prim算法

  • 朴素版：稠密图

    • 模板
      • dist[i]<-inf
      • for(i=0;i<n;i++)
        • t<-找到集合外距离最近的点
        • 用t更新其他点到集合的距离
        • st[t] = true;

  • 解析：起始每个点存储的距离初始化都是inf，随后随便找到一个点开始，图中从1开始，用1到其他点的距离去更新各个点存储的距离，然后1被放入集合
    在这里插入图片描述

  • 堆优化版（一般不用）

5.2、Kruskal算法（稀疏图）

6、二分图

6.1、染色法

6.2、匈牙利算法

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