1.算法描述

LDPC ( Low-density Parity-check，低密度奇偶校验）码是由 Gallager 在1963 年提出的一类具有稀疏校验矩阵的线性分组码 (linear block codes)，然而在接下来的 30 年来由于计算能力的不足，它一直被人们忽视。1996年，D MacKay、M Neal 等人对它重新进行了研究，发现 LDPC 码具有逼近香农极限的优异性能。并且具有译码复杂度低、可并行译码以及译码错误的可检测性等特点，从而成为了信道编码理论新的研究热点。

Mckay ，Luby 提出的非正则 LDPC 码将 LDPC 码的概念推广。非正则LDPC码的性能不仅优于正则 LDPC 码，甚至还优于 Turbo 码的性能，是目前己知的最接近香农限的码。

在LDPC码的校验矩阵中，如果行列重量固定为(P，Y)，即每个校验节点有Y个变量节点参与校验，每个变量节点参与P个校验节点，我们称之为正则LDPC码。Gallager最初提出的Gallager码就具有这种性质。从编码二分图的角度来看，这种LDPC码的变量节点度数全部为P，而校验节点的度数都为Y。我们还可以适当放宽上述正则LDPC码的条件，行列重量的均值可以不是一个整数，但行列重量尽量服从均匀分布。另外为了保证LDPC码的二分图上不存在长度为4的圈。我们通常要求行与行以及列与列之间的交叠部分重量不超过1，所谓交叠部分即任意两列或两行的相同部分。我们可以将正则LDPC码校验矩阵H的特征概括如下：

1. H的每行行重固定为P，每列列重固定为Y。

2. 任意两行(列)之间同为1的列(行)数(称为重叠数)不超过1，即H矩阵中不含四角为1 的小方阵，也即无4线循环。

3. 行重P和列重Y相对于H的行数M、列数N很小，H是个稀疏矩阵。

在正则LDPC码的校验矩阵中。行重和列重的均值保持不变，所以校验矩阵中1的个数随着码长的增加而线性增长，整个校验矩阵的元素个数则成平方增长。当码长达到一定长度时，校验矩阵H是非常稀疏的低密度矩阵。对于正则的LDPC码，MacKay给出了以下两个结论：

1. 对于任意给定列重大于3的LDPC码，存在某个小于信道传输容量且大于零的速率r ，当码长足够长时，可以实现以小于r且不为零的速率无差错的传输。也就是说任意给定一个不为零的传输速率r，存在一个小于相应香农限的噪声门限，当信道噪声低于该门限且码长足够长的时候，可以实现以r速率无差错的传输。

2. 当LDPC码的校验矩阵H的列重Y不固定，而是根据信道特性和传输速率来确定时，则一定可以找到一个最佳码，实现在任意小于信道传输容量的速率下无差错的传输。

对LDPC码的定义都是在二元域基础上的，MaKcay对上述二元域的LDPC码又进行了推广。如果定义中的域不限于二元域就可以得到多元域GF(q)上的LDPC码。多元域上的LDPC码具有较二进制LDPC码更好的性能，而且实践表明在越大的域上构造的LDPC码，译码性能就越好，比如在GF(16)上构造的正则码性能己经和Turbo码相差无几。多元域LDPC码之所以拥有如此优异的性能，是因为它有比二元域LDPC码更重的列重，同时还有和二元域LDPC码相似的二分图结构。

整个系统链路如下所示：

第一个，输入不同SNR，以及固定的天线发送功率，得到误码率曲线

第二个，输入不同的天线发送功率，以及固定的信道SNR，得到误码率曲线

2.仿真效果预览

matlab2022a仿真结果如下：

3.MATLAB核心程序

 
%%
%开始循环，进行误码率仿真仿真时间~~4小时
for i=1:length(SNR)
    i
    Bit_err(i)    = 0; %设置误码率参数
    Num_err       = 0; %蒙特卡洛模拟次数
    Numbers       = 0; %误码率累加器
    %信道参数
    SNRs          = 10^(SNR(i)/10);
    %求出方差值
    sigma         = 1/sqrt(2*SNRs);   
    %发射功率
%     Ptr           = 50;%10w
    %功率对应的db,dBm = 10 x log[ 功率 mW] 
%     dbm           = 10*log10(1000*Ptr);
    while Num_err <= NUMS(i)
        fprintf('EbN0 = %f\n', SNR(i));
        Num_err
        Numbers
        %产生需要发送的随机数
        Trans_data             = round(rand(N-M,1));     
        %LDPC编码
        [ldpc_code,newH]       = func_Enc(Trans_data,H);       
        u                      = [ldpc_code;Trans_data];      
        %QPSK映射
        z0                     = func_QPSK_mod(u);
        %发送天线功率
        z1                     = z0;
        %通过微波信道
        z                      = z1 + sigma*randn(size(z1));
        %接收并
%         H1                     = 10^(Gr/20);
        zz                     = func_deMapping(z,length(z));
        %译码
        [vhatsd,nb_itersd,successsd] = func_Dec(2*zz-1,newH,sigma,Max_iter);
        %QPSK逆映射
        [nberr,rat]                  = biterr(vhatsd(M+1:N)',Trans_data);
        %LDPC译码 
        Num_err                = Num_err+nberr;
        Numbers                = Numbers+1;
    end
    Bit_err(i) = Num_err/(N*Numbers);
end
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