三角函数@对数@分式

$x>0$

• $\sin x<x(x>0)$

• $\ln x⩽x-1(x>0)$

  • $\ln (x)+1⩽x$

• $\ln (x+1)⩽x(x>0)$

  • $令t=x+1,t>1>0$
  • $\ln (t)⩽t-1$
  • $\ln (x+1)⩽x$

• $\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

  • $u=\frac{1}{x}>0$

• $\frac{1}{1+x}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

  • $此处\frac{1}{1+x}<\frac{1}{x}$是显然的($x>0$范围内,分母大的反而小)
  • 记住这一对,有利于记忆这个不等式链

• $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$

  • $由上式将x用\frac{1}{x}$代换得到
  • 并且容易发现,$0<\frac{x}{x+1}<1$
    • $但是\ln (1+x),x$都可以在$x\to \infty$时,趋于无穷大

• 证明:

  • 可以考虑作差构造函数,利用导数单调性的方法证明

  • 这里采用拉格朗日中值定理构造动区间来证明证明

  • 记函数$f(x)=\ln x,x>0$

  • 可通过Lagrange中值定理(Lagrange’s Mean Value Theorem,简记为LMVT)

  • 构造动态区间$\tau =[x_1(x),x_2(x)]$

    • 也就是,用两个函数作为闭区间的边界

      • $$\begin{gathered} x_1=x_1(x) \\ {x}_2=x_2(x) \end{gathered}$$

      • 当$x_1,x_2$都只是常数的时候,那么称为静态区间

      • 不过,动态区间更加具有思考价值,可以做很多有意义的工作(推导@证明一些不等式)

  • 记:
    $$\begin{gathered} \Delta x=x_2-x_1 \\ \Delta y=f(x_2)-f(x_1) \end{gathered}$$

    • 则由LMVT

    • $$\begin{gathered} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(\xi ),\Delta x\ne 0 \\ 更一般的形式 \\ \Delta y=f^{\prime }(\xi )\Delta x={\frac{d}{dx}f(x)|}_{x=\xi }\cdot \Delta x \end{gathered}$$

  • 本例中,$x_1=x,x_2=x+1;x>0;\tau =[x,x+1],\Delta x=x+1-x=1$,区间宽度是常数1

    • $f(x)=\ln x$

    • $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

    • 由LMVT,

      • $$\begin{gathered} \Delta y=\ln (x_2)-\ln (x_1)=\ln (x+1)-\ln x=\ln \frac{x+1}{x} \\ {f}^{\prime }(\xi )\Delta x={\frac{1}{x}|}_{x=\xi }\Delta x=\frac{1}{\xi }\cdot 1=\frac{1}{\xi } \\ \exists \xi ,s.t. \\ \ln \frac{x+1}{x}=\frac{1}{\xi } \\ 且\xi \in \tau =[x,x+1] \end{gathered}$$

      • $$\begin{gathered} 为了便于比较,将\xi \in [x,x+1]变形为 \\ \frac{1}{\xi }\in [\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}] \\ 从而 \\ \frac{1}{x+1}<\ln \frac{x+1}{x}<\frac{1}{x} \\ 分离常数的形式: \\ \frac{1}{x+1}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x},(x>0) \end{gathered}$$

    • 此外,$x>0\Rightarrow \frac{1}{x}>0$

      • $$\begin{gathered} x取\frac{1}{x}(代换之) \\ \frac{1}{\frac{1}{x}+1}<\ln (1+x)<x \\ 即:\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x \end{gathered}$$

$x\in (0,\frac{1}{2}\pi )$

正弦正切

• $$\sin x<x<\tan x$$

  • 从单位圆的几何角度可以直接证明
  • 同除以$\sin x$
  • $1<\frac{x}{\sin x}<\cos x$
  • 同时取倒数
  • $1>\frac{\sin x}{x}>\frac{1}{\cos x}$
  • 即$\frac{1}{\cos x}<\frac{\sin x}{x}<1$
    • 由于不等式后两项$f(x)=\frac{1}{\cos x};g(x)=\frac{\sin x}{x}$是偶函数
    • $所以f(-x)=f(x);g(-x)=g(x)$
    • $由f(x)<g(x)$可知,依然有$f(-x)<g(-x)$
    • 可见,在$x\in (-\frac{1}{2}\pi ,0)\cup (0,\frac{1}{2}\pi ),f(x)<g(x)$

$x\in (0,1)$

• $$\frac{x}{2}<\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$$

  • 其中$y=\frac{x}{1+x}=\frac{1+x-1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}=-\frac{1}{1+x}+1$

    • $g(x)=-\frac{1}{1+x}可以从\frac{-1}{x}图像左移1个单位得到$

    • 再将g(x)向上平移一个得到y(x)

    • https://www.geogebra.org/calculator/kfrrff9b	https://www.geogebra.org/calculator/vx6xkq8n
      	https://www.geogebra.org/calculator/aqejwzsm

• 记

  • $h(x)=\frac{1}{2}x$

  • $y(x)=\frac{x}{1+x}$

  • $p(x)=\ln (1+x)$

  • $q(x)=x$

  • $x\in [0,1]$

  • 分析

    • $c(x)=\frac{h(x)}{y(x)}=\frac{1+x}{2}$

      • 在定义域$x\in [0,1]$内,$c(x)⩽\in [0,1]$
      • $h(x)⩽y(x)$

    • 由$x>0$部分介绍的不等式链:$\frac{x}{x+1}<\ln (1+x)<x$

有界性@正弦@余弦

• $$\frac{1+\sin x}{2}⩽1+\cos x,(x\in [0,1])$$

  • $记f(x)=\frac{1+\sin x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sin x}{2}$

    • $g(x)=1+\cos x$

  • 因为$x\in [0,1]$内

    • $\sin x,\cos x\in [0,1]$
    • $这样\frac{1}{2}\sin x\in [0,\frac{1}{2}]$
    • $从而f(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sin x}{2}⩽\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
    • 另一方面,$g(x)=1+\cos x\in [1,2]$

  • 因此$f(x)<g(x)$

  • 更一般的,设$x,y\in [0,\frac{1}{2}\pi ]$

    • $f(x)=\frac{1}{2}+\sin x$
    • $g(y)=1+\cos y$
    • 依然有$f(x)⩽g(x)$
      • 当且仅当$x=\frac{1}{2}\pi$时取得等号

反三角

• $$\arctan x⩽x⩽\arcsin x(x\in [0,1])$$

$x\in R$

指数和幂

• $e^x⩾x+1(x\in R)$
  • $e^x-1⩽x$
  • 通常是希望将指数放缩成幂,达到简化的目的