不同路径
62 . 不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
1.状态表示
dp[i][j] 表示的是走到[i][j]位置时候的所有路径数量。
2.状态转移方程
动态规划题，我们需要学会依靠经验和题目解析去猜测他们的状态转移方程。
走到[i][j]位置时，根据题意，有两种情况：
- 从 [i-1][j]位置 向上走一步到 [i][j];
- 从 [i][j-1]位置 向右走一步到 [i][j];
所以dp[i] 的值是这两种情况的方法总和：
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
3. 初始化
从递推公式可以看出，我们需要初始化 dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列，
初始化比较繁琐，我们可以将初始化dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列 这一步骤放入填表中。
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
- i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
- ii. 「下标的映射关系」。
在本题中「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。
4. 填表顺序
填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。
5. 返回值
应该返回 dp[m][n] 的值。
代码：
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
dp[0][1]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
return dp[m][n];
}
不同路径 II
63 . 不同路径 II
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
1.状态表示
dp[i][j] 表示的是走到[i][j]位置时候的所有路径数量。
2.状态转移方程
动态规划题，我们需要学会依靠经验和题目解析去猜测他们的状态转移方程。
走到[i][j]位置时，根据题意，有两种情况：
- 从 [i-1][j]位置 向上走一步到 [i][j];
- 从 [i][j-1]位置 向右走一步到 [i][j];
但是当 某个位置出现障碍物时 ，比如在 [2][3] 位置上有障碍物，我们无法从[2][3] 走到 [3][3] 或者 [2][4]，所以dp[2][3] 的值为 0；
所以dp[i] 的值是 0 和：
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
3. 初始化
从递推公式可以看出，我们需要初始化 dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列，
初始化比较繁琐，我们可以将初始化dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列 这一步骤放入填表中。
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
- i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
- ii. 「下标的映射关系」。
在本题中「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。
4. 填表顺序
填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。
5. 返回值
应该返回 dp[m][n] 的值。
代码：
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m=obstacleGrid.size();
int n=obstacleGrid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
dp[0][1]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(obstacleGrid[i-1][j-1]==1) dp[i][j]=0;
else dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
return dp[m][n];
}
