1.简述

      

解决数据拟合问题最重要方法是最小二乘法和回归分析。如，我们需要从一组测定的数据（例如N个点（xi，yi）（i=0,1，…，m））去求得自变量 x 和因变量 y 的一个近似解表达式 y=f（x），这就是由给定的 N 个点（xi，yi）（i=0,1，…，m）求数据拟合的问题。（注意数据拟合和数据插值是不同的，举个例子：因为测量数据往往不可避免地带有测试误差，而插值多项式又通过所有的点（xi，yi），这样就使插值多项式保留了这些误差，从而影响逼近精度，使得插值效果不理想）
所以使用最小二乘法曲线拟合法：即寻求已知函数的一个逼近函数y=f（x），使得逼近函数从总体与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小，而又不一定通过全部的点（xi，yi），这个时候就需要使用最小二乘法曲线拟合法。
数据拟合的具体做法是：对给定的数据（xi，yi）（i=0,1，…，m），在取定的函数类ϕ \phiϕ中使误差r i = p ( x i ) − y i ( i = 0 , 1 , … , m ) r_{i}=p\left(x_{i}\right)-y_{i}(i=0,1, \ldots, m)r 

 (i=0,1,…,m)的平方和最小，即
 

从几何意义讲，即寻求与给定点 x i − y i ( i = 0 , 1 , … , m ) x_{i}-y_{i}(i=0,1, \ldots, m)x 

 (i=0,1,…,m) 的距离平方和为最小的曲线y=p（x）。函数p（x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p（x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类 ϕ \phiϕ 可有不同的选取方法。
MATLAB工具箱中提供了最小二乘拟合函数 polyfit() -->多项式曲线拟合
具体调用格式有三种：

P = polyfit(X,Y,N)
[P,S] = polyfit(X,Y,N)
[P,S,MU] = polyfit(X,Y,N)
（1）P = polyfit(X,Y,N) 返回次数为 n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最小二乘方式中）。p 中的系数按降幂排列，p 的长度为 n+1.
其中 X 为输入的向量x，Y 为得到的函数值，N 表示拟合的最高次数，返回的P值为拟合的多项式：

P ( 1 ) × X n + P ( 2 ) × X n − 1 + … + P ( N ) × X + P ( N + 1 ) P(1) \times X^{n}+P(2) \times X^{n-1}+\ldots+P(N) \times X+P(N+1)
P(1)×X 
n
 +P(2)×X 
n−1
 +…+P(N)×X+P(N+1)

（2） [P,S] = polyfit(X,Y,N)还返回一个结构体 S，S可用作 polyval 的输入来获取误差估计值（S为由范德蒙矩阵的QR分解的R分量）。
其中 X 为输入的向量x，Y 为得到的函数值，N 表示拟合的最高次数，返回的P值为拟合的多项式：

P ( 1 ) × X n + P ( 2 ) × X n − 1 + … + P ( N ) × X + P ( N + 1 ) P(1) \times X^{n}+P(2) \times X^{n-1}+\ldots+P(N) \times X+P(N+1)
P(1)×X 
n
 +P(2)×X 
n−1
 +…+P(N)×X+P(N+1)

（3）[P,S,MU] = polyfit(X,Y,N)还返回 mu，mu是一个二元素向量，包含中心化值和缩放值。mu(1) 是 mean(x)，mu(2) 是 std(x)。使用这些值时，polyfit 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差，这种中心化和缩放变换可同时改善多项式和拟合算法的数值属性。
 

2.代码

% 多项式的拟合

clc;
clear all;
x=[0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8];
y=[1 2 3 5 6 7 6 5 4 1];
p5=polyfit(x,y,5);%5阶多项式拟合
y5=polyval(p5,x);
p5=vpa(poly2sym(p5),5)%显示5阶多项式
p9=polyfit(x,y,9);%9阶多项式拟合
y9=polyval(p9,x);
figure;%画图显示
plot(x,y,'bo');
hold on;
plot(x,y5,'r:');
plot(x,y9,'g--');
legend('原始数据','5阶多项式拟合','9阶多项式拟合');
xlabel('x');
ylabel('y');
 

3.运行结果