✅作者简介：人工智能专业本科在读，喜欢计算机与编程，写博客记录自己的学习历程。
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投资问题

设有一笔资金 10 万，未来 5 年内可以投资 4 个项目：

• 项目 1：每年初投资，次年年末回收本利 115%；
• 项目 2：第 3 年初投资，第 5 年末回收本利 125%，投资额不能超过 3 万；
• 项目 3：第 2 年初投资，第 5 年末回收本利 140%，投资额不能超过 4 万；
• 项目 4：每年初投资，当年年末回收本利 106%。

要使 5 年后收益最大化，请问 5 年内应如何投资？

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模型建立

考虑每个项目的可投资时段，可得到下表：

第 i 年初	1	2	3	4	5
项目 1	$✓$	$✓$	$✓$	$✓$
项目 2			$✓$
项目 3		$✓$
项目 4	$✓$	$✓$	$✓$	$✓$	$✓$

表中的对号 $✓$ 表示该项目在该年初可以投资，空白表示该项目在该年初不可以投资。

设 $x_{ij}$ 表示项目 $i$ 在第 $j$ 年初投资的金额，$i=1,2,3,4$，$j=1,2,3,4,5$。
可得出以下优化模型：

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\min f(x)=1.15x_{14}+1.25x_{23}+1.4x_{32}+1.06x_{45}\end{array} \\ \begin{array}{r}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}{x}_{11}+x_{41}=10\\ x_{12}+x_{32}+x_{42}=1.06x_{41}\\ x_{13}+x_{23}+x_{43}=1.15x_{11}+1.06x_{42}\\ x_{14}+x_{44}=1.15x_{12}+1.06x_{43}\\ x_{45}=1.15x_{13}+1.06x_{44}\\ x_{23}\le 3\\ x_{32}\le 4\\ x_{ij}\ge 0\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

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MATLAB 求解

% 创建优化问题
prob = optimproblem('ObjectiveSense','max');

% 创建优化变量
x = optimvar('x',4,5,'LowerBound',0);

% 设置优化目标
prob.Objective = 1.15*x(1,4)+1.25*x(2,3)+1.4*x(3,2)+1.06*x(4,5);

% 添加约束
prob.Constraints.cons1 = x(1,1)+x(4,1)==10;
prob.Constraints.cons2 = x(1,2)+x(3,2)+x(4,2)==1.06*x(4,1);
prob.Constraints.cons3 = x(1,3)+x(2,3)+x(4,3)==1.15*x(1,1)+1.06*x(4,2);
prob.Constraints.cons4 = x(1,4)+x(4,4)==1.15*x(1,2)+1.06*x(4,3);
prob.Constraints.cons5 = x(4,5)==1.15*x(1,3)+1.06*x(4,4);
prob.Constraints.cons6 = x(2,3)<=3;
prob.Constraints.cons7 = x(3,2)<=4;

% 检查优化问题
show(prob)

% 求解优化问题
[sol,fval] = solve(prob);

fval
sol.x

结果：

fval =
   14.4215

ans =
    2.6087    3.8348         0    4.4100         0
         0         0    3.0000         0         0
         0    4.0000         0         0         0
    7.3913         0         0         0         0

即 5 年内应按下表进行投资：

第 i 年初	1	2	3	4	5
项目 1	2.6087	3.8348	0	4.4100	0
项目 2	0	0	3.0000	0	0
项目 3	0	4.0000	0	0	0
项目 4	7.3913	0	0	0	0

最终收益为 $14.4215-10=4.4215(万元)$。