目录

算法基本概念

算法的定义

算法复杂度分析

渐近记号

①渐近上界记号O

②渐近下界记号Ω

③渐近紧确界记号 Θ

④非渐近紧确上界记号o

⑤非渐近紧确下界记号ω

渐进记号极限定义

分治

分治步骤

递归树

​编辑代入法

主方法

改变变量

二叉树

堆

建堆

堆排序

回溯法

0-1背包问题

动态规划

动态规划步骤

最优子结构

重叠子问题

最优性原理

证明：0-1背包问题Knap(1,n,c)满足最优性原理

证明：最长路径问题不满足最优性原理。

贪心

活动选择问题

哈夫曼编码

摊还分析

聚合法/合计法

核算法/记账法

势能法

图论

图

拓扑排序

并查集

Kruskal算法

prim算法

流网络

最大流最小割定理

Ford-Fulkerson方法

P问题和NP问题

停机问题

---

算法基本概念

程序=数据结构+算法

算法的定义

算法是若干指令的有穷序列，满足性质：

①输入：有外部提供的量作为算法的输入。

②输出：算法产生至少一个量作为输出。

③确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。

④有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。

⑤可行性: 算法是能够有效解决问题的。

问题求解过程

算法复杂度分析

一个算法的运行时间是指在特定输入时所执行的基本操作数或步数。

插入排序例子

假定每次执行第i行所花的时间是常量ci；对 j = 2, 3, … n, 假设tj表示对那个值 j 执行while循环测试的次数。

当一个for或while循环按通常的方式（由于循环头中的测试）退出时，执行测试的次数比执行循环体的次数多1。

则插入排序的运行时间为所有times与对应cost之积的和，即取决于不确定的tj。

最好情况下tj的值为1，最坏情况下tj的值为j，平均情况下tj的值为j/2。

渐近记号

①渐近上界记号O

渐近地给出一个函数在常量因子内的上界:

O(g(n)) = { f(n) : 存在正常量c和n0，使得对所有n ≥ n0，有0 ≤ f(n) ≤ cg(n)}

O可用于标识最坏情况运行时间

②渐近下界记号Ω

渐近地给出一个函数在常量因子内的下界:

Ω(g(n)) = { f(n) :存在正常量 c 和 n0，使得对所有n ≥ n0，有 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) for all n ≥ n0 }

Ω可用于标识最佳情况运行时间

③渐近紧确界记号 Θ

渐近地给出了一个函数的上界和下界:Q(g(n)) = { f(n) : 存在正常量c1, c2和n0，使得对所有n ≥ n0，有0 ≤ c1 g(n) ≤ f(n) ≤ c2 g(n)}

形式化证明n2/2 - 3n = Q(n2)

即确定正常数c1, c2和n0，使得对所有n ≥ n0，有：

用n2除不等式得：

右边不等式在n ≥ 1，c2 ≥ 1/2时成立，左边不等式在n ³ 7，c1≤1/14时成立，选c1 = 1/14，c2 = 1/2，n0=7时上式即可成立。

④非渐近紧确上界记号o

o(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常量c > 0，存在常量n0  > 0使得对所有n ³ n0，有0 ≤ f(n) < cg(n) }

⑤非渐近紧确下界记号ω

ω(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常量c > 0，存在常量n0 >0使得对所有n ³ n0，有0 ≤ cg(n) < f(n) }

f(n)∈ω(g(n))  当且仅当  g(n)∈o(f(n))

渐进记号极限定义

 

分治

分治步骤

将一个问题分解为与原问题相似但规模更小的若干子问题，递归地解这些子问题，然后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤：

①Divide（分解）：将问题划分为若干个子问题

②Conquer（求解）：递归地求解子问题；若子问题规模足够小，则直接解决之

③Combine（组合）：将子问题的解结合成原问题的解

 n!的递归式是什么 ?

递归树

代入法

T(n) = T(n/2) + n²

假设T(n)∈O(n²)，证明T(n)≤cn²：

主方法

主方法可解如下形式的递归式

T(n) = aT(n/b) + f(n)

主定理

 

 关键是比较 f(n) 和 nlogba，看谁大：

①f(n)小，case1成立

②差不多大，case2成立

③f(n)大，case3成立

case1例子：

 case2例子：

 case3例子：

 有些情况主方法不一定适用。

改变变量

二叉树

有序树  是一棵有根结点的树，其中每个结点的孩子结点都是有序的 (第一、二个孩子结点等等)。

二叉树  是一棵有根结点的有序树，其中每个结点最多有两个孩子结点，并且左孩子结点和右孩子结点可区分 (也就是说他们有不同属性)。

结点 的深度 是从这个结点到根结点的简单路径上边的数目。

树 的深度 是树中所有结点最大的深度。

结点 的高度 是从该结点到一个叶子结点的最长简单路径的边数。

树  的高度 是树的根结点的高度= 树的深度。

叶子结点：没有孩子的结点，也称外部结点。

内部结点：非叶子结点。

结点的度：结点孩子的数目。

完全二叉树 是一棵所有叶子结点在同一深度，而且每个非叶节点都有两个孩子结点的二叉树。

近似完全二叉树  深度为 d，只考虑深度为 d – 1 的部分是完全二叉树，深度为 d 的结点都在靠左部分。

堆

建堆

从n/2向下取整开始调整堆

 

 

建堆的代价为O(n)。

堆排序

在数组上建一个最大堆。

从根结点开始 (它的值最大), 算法将最大值放到数组中正确的地方，例如将它与数组中最后一个元素交换位置。

“去掉” 数组中最后一个元素 (已经在正确的位置)， 在新的根结点上调用 Max-Heapify，新的根结点满足最大堆性质。

重复“去掉” 操作直到只剩一个结点 (也就是最小值), 得到已经排序的数组。

回溯法

0-1背包问题

 

动态规划

动态规划步骤

动态规划的思想实质是分治思想和解决冗余。

求解步骤

①找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

②递归地定义最优值（写出动态规划方程）；

③以自底向上的方式计算出最优值；

④根据计算最优值时记录的信息，构造最优解。

注：

－步骤①~③是动态规划算法的基本步骤。如果只需要求出最优值的情形，步骤④可以省略

－若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤④，步骤③中记录的信息是构造最优解的基础。

动态规划的有效性依赖于问题具有两个重要性质

最优子结构

问题的最优解是由其子问题的最优解来构造，则称该问题具有最优子结构性质。

重叠子问题

在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被重复计算多次。动态规划算法利用子问题的重叠性质，对相同子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，以后该子问题的解直接查表。

最优性原理

求解问题的一个最优策略的子策略序列总是最优的，则称该问题满足最优性原理。

证明：0-1背包问题Knap(1,n,c)满足最优性原理

证明：最长路径问题不满足最优性原理。

贪心

活动选择问题

 

 

哈夫曼编码

 

 

 

 

摊还分析

聚合法/合计法

栈操作分析

核算法/记账法

栈操作

 

势能法

栈操作

 

 

图论

图

入度：有向图中连向该节点边的条数。

出度：有向图中从该节点连出的边的条数。

度：节点出度与入度之和，即连接该节点边的条数。

简单图：没有多重边，没有自环。

简单路径：对于一条由连续边与节点组成的路径，没有经过重复的节点。

连通图：对于一个无向图，任意两个节点之间都存在一条路径连接。

强连通图：对于一个有向图，任意2个节点之间都存在一条有向路径连接。

稀疏图：|E|≈|V|

稠密图：|E|≈|V|²

完全图：对于一个有向或者无向图，任意两个节点之间都有边邻接（对于有向图需要两个方向 的边）。

拓扑排序

并查集

 

Kruskal算法

克鲁斯卡尔算法的思想是逐步选择边来构建最小生成树。具体步骤如下：

1. 将图中的所有边按照权值从小到大进行排序。
2. 从权值最小的边开始，依次考虑每条边：
   • 如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则选择该边加入最小生成树，并合并这两个顶点所在的连通分量。
   • 如果该边的两个顶点已经在同一个连通分量中，则舍弃该边，以避免形成环路。
3. 重复步骤2，直到最小生成树中包含图中的所有顶点为止。

通过这种方式，克鲁斯卡尔算法能够找到一个连通图的最小生成树，并且保证总权值最小。算法的关键在于选择边的过程中保证不会形成环路，以确保最终生成的树是连通的。

prim算法

Prim算法的思想如下：

1. 选择一个起始顶点作为初始集合，可以是任意一个顶点。
2. 将该起始顶点加入到最小生成树的顶点集合中。
3. 从已加入最小生成树的顶点集合中，选择一个顶点u，将与顶点u相连且权值最小的边（u, v）加入到候选边集合。
4. 从候选边集合中选择权值最小的边（u, v），将顶点v加入到最小生成树的顶点集合中，同时将边（u, v）加入到最小生成树的边集合中。
5. 重复步骤3和步骤4，直到最小生成树包含图中的所有顶点为止。

通过这种方式，Prim算法逐渐扩展最小生成树的顶点集合，保证每一步都选择了与已加入顶点集合具有最小权值的边。最终得到的最小生成树是以起始顶点为根节点的一棵树，并且总权值最小。

需要注意的是，Prim算法的实现通常需要使用优先队列（最小堆）来高效地选择权值最小的边。

流网络

流网络是一个有向图G=（V，E），其中每条边(u,v)均有一非负容量c(u,v)≥0。如果(u,v)不是E中的边，则假定c(u,v)=0。流网络中有两个特别的顶点：源点s和汇点t。假定每个顶点均处于从源点到汇点的某条路径上。

残留网络

增广路径

最小割

指将原有网络G(V, E)划分成两个不相交的集合(A, B)，使得A中的所有节点都无法到达B中的所有节点，在满足这一条件的情况下，将划分这两个集合的所有边的容量之和称为最小割。

最大流最小割定理

最大流最小割定理的证明

 

Ford-Fulkerson方法

Ford-Fulkerson方法通过不断地在残留网络中搜索出增广路径，并根据增广路径更新剩余容量的方式来寻找最大流。每次增广的过程中，都会选择一条从源点到汇点的路径，然后将这条路径上的流量增加到当前的最大流中。随着可行流的不断增加，残留网络中的剩余容量也不断减少，直到找不到增广路径为止。

P问题和NP问题

NP问题是指“非确定性多项式时间可解问题”（Nondeterministic Polynomial time problem）的缩写。它是理论计算机科学中的一个重要概念，与问题的求解复杂性相关。

在计算机科学中，问题可以分为两类：P问题和NP问题。P问题是可以在多项式时间内解决的问题，也就是说存在一种算法，以输入规模的多项式函数形式运行时间来解决该问题。而NP问题则是指可以在多项式时间内验证解的问题，也就是说如果给定一个解，可以在多项式时间内验证这个解是否正确。

换句话说，对于一个给定的NP问题，如果我们有一个解，我们可以在多项式时间内验证这个解的正确性。然而，我们并不能在多项式时间内找到一个解。这是因为NP问题通常是非确定性多项式时间可解的，意味着我们可以猜测一个解并在多项式时间内验证它，但没有一种确定性的算法能够在多项式时间内找到一个解。

经典的NP问题包括旅行商问题（TSP）、背包问题（Knapsack Problem）、图着色问题（Graph Coloring Problem）等。这些问题在实际中非常重要，但目前还没有找到一种高效的确定性算法来解决它们。如果能够在多项式时间内找到NP问题的解，那么P问题和NP问题将等价，这是一个著名的数学难题，被称为P与NP问题的克里伯尔猜想。

需要注意的是，虽然NP问题的解不能在多项式时间内找到，但如果我们得到了一个解，我们可以在多项式时间内验证其正确性。因此，一些NP问题可以通过近似算法或优化策略来获得接近最优解的解决方案。

停机问题

停机问题（Halting problem）是指确定一个给定的计算机程序能否在有限步骤内停止运行的问题。简而言之，停机问题是要判断一个程序是否会在某个时刻停止执行，或者会一直进行下去。

停机问题被证明是不可解的，也就是说，不存在一种通用算法可以判断任意程序是否会停止。这个结论由图灵在1936年提出，并通过其著名的停机问题证明（Turing's halting problem proof）得到了证实。

停机问题的重要性在于它揭示了计算机理论中的局限性。尽管现代计算机具有强大的计算能力，但某些问题是无法通过计算机自动解决的。停机问题成为计算机科学中的一个经典例子，被广泛应用于理论计算机科学和计算机算法的研究中。

停机问题的证明是通过构造反证法来展示停机问题的不可解性。这个证明由图灵在1936年提出，被称为图灵停机问题证明（Turing's halting problem proof）。

证明的思路如下：

1. 假设存在一个算法或程序H，可以判断任意给定程序是否会在有限步骤内停止。

2. 假设程序H接收两个输入：P（要判断是否停机的程序）和I（程序P的输入）。

3. 程序H首先尝试运行程序P并观察它的行为。如果程序P在有限步骤内停机，则程序H返回"停机"。否则，程序H进入一个无限循环。

4. 接下来，构造一个新的程序D。程序D的功能是根据输入参数来模拟程序H的行为。即，当程序D接收到输入P和I时，它会调用程序H并将输入设置为P和I。如果程序H返回"停机"，那么程序D会进入一个无限循环；如果程序H进入无限循环，那么程序D会停机。

5. 现在，我们将程序D作为自己的输入参数传递给程序D。也就是说，我们运行程序D，并将D作为输入传递给D。

6. 根据程序D的定义，它会模拟程序H的行为。如果程序H（此时是D自己）返回"停机"，那么程序D会进入无限循环；如果程序H进入无限循环，那么程序D会停机。

7. 这就导致了矛盾：根据程序D的行为，无论它是停机还是进入无限循环，都会与程序H的判断相矛盾。

由此可见，假设存在一个算法或程序H来解决停机问题是不成立的。因此，停机问题是不可解的。这个证明揭示了计算机无法判断任意程序是否会停机的困境，成为计算机科学中的经典结果之一。