1、作者介绍

刘晨雨，男，西安工程大学电子信息学院，2022级研究生
研究方向：医学图像分割
电子邮件：1422231109@qq.com

陈梦丹，女，西安工程大学电子信息学院，2022级硕士研究生，张宏伟人工智能课题组
研究方向：机器视觉与人工智能
电子邮件：1169738496@qq.com

2、LPP算法简介

2.1 基本概念及原理

LPP（Locality Preserving Projection），即局部保留投影算法，是一种常用的降维算法，通过线性近似LE算法（拉普拉斯特征映射）来保留局部信息，可以被看做是PCA的替代。

LPP算法通过构建空间中各样本对之间的远近亲疏关系，并在降维投影中尽可能地去保留这样的亲疏关系，从而保留数据的局部结构。

2.2 算法流程

LPP算法的核心思想是通过线性映射将高维数据投影到低维空间，使得样本的局部关系在低维空间中得以保持。

算法的具体步骤如下：

• 构建邻近图：首先，根据数据之间欧氏距离，计算每个样本与其最近邻样本之间的距离，并构建一个邻近图。
• 构建权重矩阵：根据邻近图，计算每个样本与其最近邻样本之间的权重。常用的权重计算方法是通过径向基函数计算权重，距离较近的样本具有较高的权重。
• 构建重构误差矩阵：对于每个样本，通过将其与其最近邻样本的线性组合重构出来，计算重构误差。重构误差表示通过低维空间的投影无法完美重构原始样本。
• 构建目标函数：LPP算法的目标是最小化重构误差，同时保持样本之间的局部关系。因此，构建目标函数，使得重构误差最小化。目标函数通常可以表示为矩阵形式，并通过对该矩阵进行特征值分解，得到最优的投影矩阵。
• 降维：根据得到的最优投影矩阵，将高维数据映射到低维空间中，完成降维过程。

3、LPP算法实现

3.1 数据集简介

手写数字数据集(digits)是常用的sklearn库中自带的数据集，直接调用即可；digits所包含的主要数据分为images 、data、target、target_names。其中：

• imgaes 是一个三维矩阵1797 张8 * 8的图片；
• data是具体数据包含1797个样本，每个样本包括8 × 8像素的图像，其实就是将8 × 8的images按行展开；
• target 指明每张图片的标签，也就是每张图片代表的数字；
• target_names数据集中所有标签[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] 。
  

3.2 代码实现

3.2.1 完整代码

# 导入包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_digits
# 求欧氏距离
# X维度[N,D]
def cal_pairwise_dist(X):
    N,D = np.shape(X)
    # 数据扩展
    tile_xi = np.tile(np.expand_dims(X,1),[1,N,1])
    tile_xj = np.tile(np.expand_dims(X,axis=0),[N,1,1])
    # 欧式距离公式
    dist = np.sum((tile_xi-tile_xj)**2,axis=-1)
    # 返回任意两个点之间距离
    return dist
# 求取rbf径向基函数
def rbf(dist, t = 1.0):
    return np.exp(-(dist/t))
# 求取两两点的位置关系矩阵W
def cal_rbf_dist(data, n_neighbors = 10, t = 1):
    # 根据输入的data数据调用欧式距离公式计算两两点之间的距离
    dist = cal_pairwise_dist(data)
    # 如果距离小于0则直接为0
    dist[dist < 0] = 0
    # 样本点的数目N为距离的第一个维度
    N = dist.shape[0]
    # 径向基
    rbf_dist = rbf(dist, t)
    # 初始矩阵N*N
    W = np.zeros([N, N])
    # 逐行遍历
    for i in range(N):
        # 按照欧氏距离从小到大进行排序，取n个最近的样本点
        index_ = np.argsort(dist[i])[1:1 + n_neighbors]
        # 径向基算出这些点的距离
        W[i, index_] = rbf_dist[i, index_]
        W[index_, i] = rbf_dist[index_, i]
    return W
# X为输入维度 格式 [N，D]；n_neighbors为K近邻的数目； t为距离计算的参数
def lpp(X,n_dims = 2,n_neighbors = 30, t = 1.0):
    N = X.shape[0]
    W = cal_rbf_dist(X, n_neighbors, t)
    D = np.zeros_like(W)
    # 计算对角线矩阵D
    for i in range(N):
        D[i,i] = np.sum(W[i])
    L = D - W
    XDXT = np.dot(np.dot(X.T, D), X)
    XLXT = np.dot(np.dot(X.T, L), X)
    # 求上述式子的特征值和特征向量
    eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(np.dot(np.linalg.pinv(XDXT), XLXT))
    # 返回一个由小到大的排序后的序号
    sort_index_ = np.argsort(np.abs(eig_val))
    # 特征值根据序号重新排列
    eig_val = eig_val[sort_index_]
    # 输出前十个特征值
    print("输出前十个特征值:", eig_val[:10])
    # 判断特征值太小的舍去
    j = 0
    while eig_val[j] < 1e-6:
        j+=1
    # 最终选择一个j出来
    print("\nj: ", j)
    # 最终取n_dims个比较小的特征值的序号
    sort_index_ = sort_index_[j:j+n_dims]
    # 选取的特征值
    eig_val_picked = eig_val[j:j+n_dims]
    print("选取的特征值:", eig_val_picked)
    # 得到转换矩阵A：特征值所对应的特征向量
    A = eig_vec[:, sort_index_]
    # 求取的那个公式
    Y = np.dot(X, A)
    return Y

if __name__ == '__main__':
    # 测试 load_digits 数据
    X = load_digits().data
    Y = load_digits().target
    n_neighbors = 5
    dist = cal_pairwise_dist(X)
    max_dist = np.max(dist)
    data_2d_LPP = lpp(X, n_neighbors = n_neighbors, t = 0.01*max_dist)
    data_2d_PCA = PCA(n_components=2).fit_transform(X)
    # 画图
    plt.figure(figsize=(12,6))
    plt.subplot(121)
    plt.title("LPP")
    plt.scatter(data_2d_LPP[:, 0], data_2d_LPP[:, 1], c = Y)
    plt.subplot(122)
    plt.title("PCA")
    plt.scatter(data_2d_PCA[:, 0], data_2d_PCA[:, 1], c = Y)
    plt.show()

3.2.2 运行结果

4、参考链接

[1] 局部保留投影算法解析参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/340121889
[2] LPP算法实现代码参考：https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/blob/master/codes/LPP/LPP.py