4.1 背景

DFT方法的计算优势

如3.4节所述，傅里叶变换用大小为 $m\times n$ 的核对 $M\times N$ 的图像滤波时，运算次数为 $MNmn$ (乘法和加法)。若核是可分离的，运算次数减少 $MN(m+n)$。在4.11节中，会发现在频率域中执行等效滤波的运算次数仅为 $2MN{\log }_{2}MN$，系数 $2$ 表示计算一次正FFT和一次反FFT。

分别考虑大小为 $M\times M$ 和 $m\times m$ 的方形图像与核。与采用不可分离的核相比，采用 FFT 对图像滤波的计算优势(它是核大小的函数)定义为：

$$C_{\mathrm{n}}(m)=\frac{M^2{m}^2}{2M^2{\log }_2{M}^2}=\frac{m^2}{4{\log }_{2}M}$$

如果核是可分离的，那么这一优势变为：

$$C_{\mathrm{s}}(m)=\frac{2M^{2}m}{2M^2{\log }_2{M}^2}=\frac{m}{2{\log }_{2}M}$$

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4.3 取样和取样函数的傅里叶变换

类似于一维取样，二维取样可用一个取样函数建模（即一个二维冲击串）

$$s_{\Delta T\Delta Z}(t,z)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-m\Delta T,z-n\Delta Z)$$

二维取样定理称，若取样间隔满足：

$$\begin{array}{l}\frac{1}{\Delta T}>2{\mu }_{\max }\\ \\ \frac{1}{\Delta Z}>2{\nu }_{\max }\end{array}$$

则连续带限函数可由一组样本无误地复原。

在区间 $[-{\mu }_{\max },{\mu }_{\max }]$ 和 $[-v_{\max },v_{\max }]$ 建立的频率域矩形之外，$f(t,z)$ 的傅里叶变换是零， 则称该函数为 带限函数 。

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4.5 二变量函数的傅里叶变换

$$F(\mu ,\nu )={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+\nu z)}dtdz$$

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4.6 二维 DFT 和 IDFT 的一些性质

假定对连续函数 $f(t,z)$ 取样生成了一幅数字图像 $f(x,y)$，它由分别在 $t$ 和 $z$ 方向，所取的 $M\times N$ 个样本组成。令 $\Delta T$ 和 $\Delta Z$ 表示样本间的间隔(见图4.15)，那么，频率域对应的离散变量间的间隔 $\Delta u$、$\Delta v$ 分别为：
$$\begin{array}{rl}\Delta u& =\frac{1}{M\Delta T}\\ & \\ \Delta v& =\frac{1}{N\Delta Z}\end{array}$$

这里其实很容易理解，因为 $\frac{1}{\Delta T}$ 就是采样率，离散傅里叶变换就是将采样率分为 $M$ 份来研究。

如果 $f(x,y)$ 旋转 ${\theta }_0$ 角度，$F(u,v)$ 也旋转相同的角度。

在一维的DFT中有这个公式:

$$f(x){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi \left(u_{0}x/M\right)}\stackrel{\mathrm{FT}}{⟷}F\left(u-u_0\right)$$

在二维中，我们可以利用下面的公式进行频谱中心化.

$$f(x,y)(-1{)}^{x+y}\stackrel{\mathrm{FT}}{⟷}F(u-M/2,v-N/2)$$

利用该式移动数据，使 $F(0,0)$ 位于由区间 $[0,M–1]$ 和 $[0,N–1]$ 在频率域中定义的矩形的中心处。图4.22(b)显示了该结果。

4.6.6 二维离散卷积定理

$$\begin{array}{c}f(x,y)\star h(x,y)\stackrel{\mathrm{FT}}{⟷}F(u,v)H(u,v)\\ \\ f(x,y)h(x,y)\stackrel{\mathrm{FT}}{⟷}\frac{1}{MN}F(u,v)\star H(u,v)\end{array}$$

上式是线性滤波的基础，是本章所有滤波技术的基础。

因为比例常数 $MN$ 通常很大，因此，$|F(0,0)|$ 通常是频谱的最大成分。因为原点处的频率分量 $u$ 和 $v$ 都是0，所以 $F(0,0)$ 有时称为变换的直流(Direct Current, DC)分量。

在确定一幅图像的特性内容时相角所起的支配作用。

交叠错误

右列中各个周期靠得太近，互相干扰。IDFT得到的是线性卷积循环叠后的周期卷积结果。因此必须要先进行零填充。

零填充

交叠错误很容易解决。考虑两个函数 $f(x)$ 和 $h(x)$ 它们分别由 $A$ 个样本和 $B$ 个样本组成 。 可以证明，如果在这两个函数中 填充零 使它们的长度 $P$ 相同，按式 (4.97) 可避免交叠问题：

$$P\ge A+B-1\text{\hspace{1em}(4.97)}$$

频率泄漏

这类似于用一个 盒式函数 与一个函数相乘 在 频率域 它意味着 原变换与一个 $\mathrm{sinc}$ 函数的卷积 见（例 4.1），这将造成一个由 $\mathrm{sinc}$ 函数的高频分量产生所谓的 频率泄漏 (frequency leakage) 。频率泄漏会在图像上产生块效应 (blocking artifact) 。

虽然频率泄漏无法完全消除但让取样后的函数 乘以 另一个 两端平滑地过渡到 0 的函数（加窗，教材 P175），可明显降低频率泄漏。

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4.7 频率域滤波基础

4.7.3 频率域滤波步骤小结

4.7.4 空间域和频率域滤波之间的对应关系

空间域滤波和频率域滤波间的纽带是卷积定理。

频率域中的滤波概念更加直观，且频率域中的滤波器设计也更容易。 取两个域中特性的优点的一种方法是：在频率域规定一个滤波器核， 计算其IDFT， 然后利用生成的全尺寸空间核的性质， 指导构建较小的核。

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4.8 使用低通频率域滤波器平滑图像

ILPF的模糊和振铃性质可用卷积定理来解释。 图4.42(a)显示了半径为15、 大小为 $1000\times 1000$ 像素的一个频率域 ILPF 传递函数的图像。 图4.42(b)是 ILPF 的空间表示 $h(x,y)$， 它是取图4.42(a)的IDFT得到的(注意振铃效应)。 图4.42(c)显示了过图4.42(b)的中心的一个灰度剖面， 其形状类似于 $sinc$ 函数。

$sinc$ 函数的中心波瓣是引起模糊的主因， 而外侧较小的波瓣是造成振铃效应的主因。因为空间函数的“分布”与 $H(u,v)$ 的半径成反比， $D_0$ 越大， 空间函数就越趋近于一个与图像卷积时根本不会导致模糊的冲激。

如表4.4所示， 频率域高斯函数的傅里叶反变换也是高斯的。 这意味着计算式(4.115)或式(4.116)的IDFT得到的空间高斯滤波器核将没有振铃效应。

空间域一阶巴特沃斯滤波器没有振铃效应。 在2阶和3阶滤波器中， 振铃效应通常难以察觉， 但更高阶滤波器中的振铃效应很明显。

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4.9 使用高通滤波器锐化图像

$$\begin{array}{rl}{h}_{\mathrm{HP}}(x,y)& ={\mathfrak{J}}^{-1}\left[H_{\mathrm{HP}}(u,v)\right]\\ & ={\mathfrak{J}}^{-1}\left[1-H_{\mathrm{LP}}(u,v)\right]\\ & =\delta (x,y)-h_{\mathrm{LP}}(x,y)\end{array}$$