1. 假设检验

1.1 概述

假设检验是一种统计推断方法，用于对一个或多个总体参数提出关于其取值的假设，并根据样本数据对这些假设进行检验。假设检验的目的是根据样本数据提供统计上的证据，以便对总体参数的假设进行接受或拒绝。

在假设检验中，通常会建立一个原假设H0和一个备择假设H1（或叫做另一种假设）。原假设是对总体参数的陈述，常常是我们希望证明或接受的假设，而备择假设则是对原假设的否定或替代陈述。

1.2 步骤

假设检验的一般步骤如下：

建立原假设H0和备择假设H1。
选择适当的检验统计量，该统计量应能够反映样本数据对原假设的支持程度。
根据显著性水平（通常为0.05）确定拒绝域，拒绝域是检验统计量的取值范围，如果检验统计量的值落在拒绝域内，则拒绝原假设。
收集样本数据并计算检验统计量的值。
根据检验统计量的值与拒绝域的关系，做出对原假设的判断，即接受或拒绝原假设。
给出假设检验的结论，并解释结果的统计显著性和实际意义。

假设检验可以应用于多种情境，例如比较两个或多个总体的均值、比较两个或多个总体的方差、检验相关性等。具体的假设检验方法和统计推断的步骤会根据问题的特点和所采用的统计方法而有所不同。

1.3 示例

洗衣粉标准重量500g，标准差2g。产出的洗衣粉重量为：501.8g、502.4g、499g、500.3g、504.5g、498.2g、505.6g。由此判断这台机器生产的洗衣粉是不是符合要求。

分析过程如下：

提供的数据包括洗衣粉的标准重量为500克，标准差为2克，以及实际产出的洗衣粉重量数据。
我们希望通过假设检验来判断这台机器生产的洗衣粉是否符合要求。
建立原假设H0：样本是符合均值500克，标准差2克的正态分布的。备择假设H1：样本不符合这个分布。
根据假设校验量的公式 $\frac{x-x_{0}}{\sqrt{\sigma ^{2}/n}}= \frac{x-500}{\sqrt{2^{2}/7}}$ ，计算出检验统计量为2.176。
设定显著性水平为0.05。
根据显著性水平，查找标准正态分布表或使用统计软件，找到检验统计量为2.176对应的双边P值为约0.026。
比较P值（0.026）和显著性水平（0.05）。由于P值小于显著性水平，我们拒绝原假设H0。
根据假设检验的结果，得出结论：这台机器生产的洗衣粉不符合标准重量500克，标准差2克的要求。

2. 卡方检验

2.1 概述

卡方检验（Chi-Square Test）是一种用于比较观察值与期望值之间差异的统计检验方法。它适用于分析分类数据的关联性和独立性。

卡方检验的基本思想是比较实际观察值与在假设为真时的期望值之间的差异程度。它通过计算卡方统计量来衡量观察值与期望值之间的差异程度。卡方统计量的计算是基于各个观察值与期望值之间的差异，差异越大，卡方统计量越大，表示观察值与期望值之间的偏离程度越大。

2.2 分析步骤

卡方检验的步骤如下：

（1）建立原假设（H0）和备择假设（H1）：

H0：变量之间不存在关联或独立。
H1：变量之间存在关联或依赖关系。

（2）构建列联表（Contingency Table）：

列联表是将两个或多个分类变量的观察值按照不同组合进行统计汇总的表格。

（3）计算期望值（Expected Values）：

根据原假设，计算得到在假设为真时的期望值。

（4）计算卡方统计量（Chi-Square Statistic）：

根据观察值与期望值的差异程度，计算得到卡方统计量。

（5）确定自由度（Degrees of Freedom）：

自由度是用来描述独立变量中可以自由变动的部分。

（6）确定显著性水平（Significance Level）：

选择适当的显著性水平，通常是0.05或0.01。

（7）查找卡方分布表或使用统计软件，根据卡方统计量、自由度和显著性水平，计算得到卡方检验的P值。

（8）比较P值和显著性水平的大小：

如果P值小于显著性水平，通常是0.05或0.01，拒绝原假设，认为变量之间存在关联或依赖关系。
如果P值大于等于显著性水平，不拒绝原假设，认为变量之间不存在关联或独立。

请注意，卡方检验的应用条件是变量为分类变量，观察值满足一定的条件，例如每个单元格的期望值不小于5等。如果条件不满足，可能需要考虑使用其他适合的检验方法。

2.3 示例

	男	女
化妆	15（55）	95（55）	110
不化妆	85（45）	5（45）	90
	100	100	200

计算公式： $x^{^{2}}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(f_{i}-np_{i})^2}{np_{i}}=\frac{(95-55)^2}{55}+\frac{(15-55)^2}{55}+\frac{(85-45)^2}{45}+\frac{(5-45)^2}{45}=129.3$