EM中等效原理

一、基本简介

电磁等效定理对于简化许多问题的解是有用的。此外，它们还提供了对麦克斯韦系统电磁场行为的物理见解。它们与唯一性定理和惠更斯原理密切相关。一个应用是它们在研究来自孔径天线或来自激光腔输出的辐射中的用途。

等效源原理（The equivalent sources Theorem）是理论电动力学（theoretical electrodynamics）基础理论之一。它是基于惠更斯原理（Huygen’s principle）惠更斯原理指出“波前上的每一个点都像一个新波源”。提供这些源精确定义的电磁学的扩展——等效定理（等效源电流密度有时称为惠更斯源）。

二、等效原理（Equivalence Theorems or Equivalenec Principles）

考虑三种情形：
1）研究区域内部的等效
2）研究区域外部的等效
3）通用情况

1. Inside-Out Case

由内而外的问题，在这两种情况下，等效电流施加在表面$S$上，在$V_0$外部产生相同的场.

在这种情况下，我们设$\mathbf{J}$和$\mathbf{M}$是表面$S$内辐射到区域$V$=$V_o$$\cup$$V_i$的时谐辐射源。它们在任何地方都产生$\mathbf{E}$和$\mathbf{H}$。首先构造一个虚表面$S$来构造一个等价问题。在这个等价问题中，区域$V_0$中曲面$S$外的场在上图（a）和（b）中都是相同的。但是在图（b）中，曲面$S$中在区域$V_i$处的场为零。 。

显然，场的切向分量在$S$处是不连续的。这对于麦克斯韦场是不可能的，除非表面电流施加在表面$S$上。我们从电磁边界条件中了解到，电磁场在电流片上是不连续。在表面$S$上需要什么表面电流，以便在S上满足场不连续的边界条件。显然，这些场不连续所需的表面电流将被施加在$S$上

$${\mathbf{J}}_{\mathbf{s}}=\hat{n}\times \mathbf{H}$$ $${\mathbf{M}}_{\mathbf{s}}=\mathbf{H}\times \hat{n}$$

根据上式，表面$S$外部$\hat{n}$$\times$ $\mathbf{H}$ 和 $\mathbf{E}$$\times$$\hat{n}$在上述两种情况下都是一样的。

• 表面$S$上的边界条件满足麦克斯韦方程组所要求的边界条件
• 根据唯一性（uniqueness）定理，曲面$S$上任一一个 $\hat{n}$$\times$$\mathbf{H}$或$\mathbf{E}$$\times$$\hat{n}$都保证了曲面S外部的$\mathbf{E}$ 和$\mathbf{H}$在上述两种等效下情况下是相等的。

2. Out-Inside Case

类似于第一种情况（Inside-Out Case）。图（b）中在曲面$S$区域$V_i$中的场等价于在图（a）中的场，但是在图（b）的曲面$S$外区域$V_0$处的场值为零。 场在表面$S$上是不连续的，因此需要外加表面电流来解释这些不连续性。

• 根据唯一性定理，在区域$V$内，上述两种情况下场的分布（${\mathbf{E}}_{\mathbf{i}}$和${\mathbf{H}}_{\mathbf{i}}$）都是一样的。
• 根据消光定理（Extinction theorem）在曲面$S$外部由${\mathbf{E}}_{\mathbf{i}}$$\times$$\hat{n}$和$\hat{n}$$\times$${\mathbf{H}}_{\mathbf{i}}$产生的场为零。

3. General Case

通常情形下，曲面$S$内外的场分布都是非零的。

此时的等效电流和等效磁流的添加方式：
$${\mathbf{J}}_{\mathbf{s}}=\hat{n}\times (\mathbf{H}-{\mathbf{H}}_{\mathbf{i}})$$ $${\mathbf{M}}_{\mathbf{s}}=(\mathbf{E}-{\mathbf{E}}_{\mathbf{i}})\times \hat{n}$$

三、典型应用

1. PEC上的外加电流

根据互易性定理可知，PEC上的外加电流无辐射。由于对于由内而外的问题，S内部的场为零，因此可以在曲面$S$内部插入PEC对象，而不会干扰外部的场$\mathbf{E}$和$\mathbf{H}$。当PEC逐渐贴近曲面$S$时，电流${\mathbf{J}}_{\mathbf{s}}$=$\hat{n}$ $\times$ $\mathbf{H}$不根据互异性原理进行辐射。两种电流中只有一种辐射，也就是说，磁流源${\mathbf{M}}_{\mathbf{s}}$=$\mathbf{E}$$\times$$\hat{n}$在辐射，电流源在下图中药去掉。这与唯一性定理是相称的，即只需要$\mathbf{E}$$\times$ $\hat{n}$的知识就可以唯一地确定$S$外的域。

在一个PEC（Perfect Electric Conductor 完美导电体）表面上，因为电流不会在PEC上辐射，只需要两个电流中的一个。

2. PMC 上的外加磁流

根据互易性定理可知，PMC（Perfect Magnetic Conductor — 完美磁导体）上的外加磁流不发生辐射。同样考虑由内而外的情况，将PMC放置在曲面$S$内部。当PMC逐渐靠近曲面$S$时，只有电流源${\mathbf{J}}_{\mathbf{s}}$=$\hat{n}$$\times$$\mathbf{H}$发生辐射，磁流源不发生辐射。这再次与唯一性定理相称，即只需要$\hat{n}$$\times$$H$的知识就可以唯一地确定S外的域。