快速幂

题目

快速幂

典型题例：

给定 n 组 $a_i$ , $b_i$ , $p_i$ ，对于每组数据，求出 $a_i^b$ $m o d$ $p_i$ 的值。

示例：

2
3 2 5
4 3 9

思路
在这里插入图片描述

代码：

/*
核心思路：反复平方法
*/

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

// a^b % p
int qmi(int a, int b, int p) {

    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (LL) res * a % p;
        b >>= 1;
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}

int main() {

    int n;
    scanf("%d", &n);

    while (n --) {
        int a, b, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);
        printf("%d\n", qmi(a, b, p));
    }

    return 0;
}

快速幂求逆元

典型题例：

给定 $n$ 组 $a_i$ , $p_i$ ，其中 $p_i$ 是质数，求 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

逆元定义：若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)，
则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。
当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。

前提n为质数
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)

示例：

第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

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4 3
8 5
6 3

思路
核心：
当n为质数时，可以用快速幂求逆元：
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)

当n不是质数时，可以用扩展欧几里得算法求逆元：
a有逆元的充要条件是a与p互质，所以gcd(a, p) = 1
假设a的逆元为x，那么有a * x ≡ 1 (mod p)
等价：ax + py = 1
exgcd(a, p, x, y)
代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n;

int qmi(int a, int b, int p) {
    
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (LL)res * a % p;
        b >>= 1;
        a = (LL) a * a %  p;
    }
    
    return res;
}

int main() {
    
    cin >> n;
    
    while (n --) {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        
        int ans = qmi(a, p - 2, p);
        if (a % p == 0) puts("impossible");
        else printf("%d\n", ans);
    }
    
    return 0;
}