高等数学（第七版）同济大学 习题10-4（前7题）

函数作图软件：Mathematica

 

$\begin{array}{rlr}& 1.求球面x^2+y^2+z^2=a^2含在圆柱面x^2+y^2=ax内部的那部分面积.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 上半球面的方程为z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}，\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}，& \\ & & \\ & \sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}，根据曲面对称性得所求面积为& \\ & & \\ & A=4{\iint }_D\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy=4{\iint }_D\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy=4a{\iint }_D\frac{1}{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}\rho d\rho d\theta =& \\ & & \\ & 4a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{acos\theta }\frac{\rho }{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}d\rho =4a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-sin\theta )d\theta =2a^2(\pi -2).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 2.求锥面z=\sqrt{x^2+y^2}被柱面z^2=2x所割下部分的曲面面积.& \end{array}$

解：

   由 { z = x 2 + y 2 z 2 = 2 x ， 解 得 x 2 + y 2 = 2 x ， 因 此 曲 面 在 x O y 面 上 的 投 影 区 域 D = { ( x ,   y )   ∣   x 2 + y 2 ≤ 2 x } ，    被 割 曲 面 的 方 程 为 z = x 2 + y 2 ， 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 = 1 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 2 ，    所 求 曲 面 的 面 积 为 A = ∬ D 2 d x d y = 2 π . \begin{aligned} &\ \ 由\begin{cases}z=\sqrt{x^2+y^2}\\\\z^2=2x\end{cases}，解得x^2+y^2=2x，因此曲面在xOy面上的投影区域D=\{(x, \ y)\ |\ x^2+y^2 \le 2x\}，\\\\ &\ \ 被割曲面的方程为z=\sqrt{x^2+y^2}，\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}}=\sqrt{2}，\\\\ &\ \ 所求曲面的面积为A=\iint_{D}\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\pi. & \end{aligned} ​  由⎩⎪⎨⎪⎧​z=x2+y2 ​z2=2x​，解得x2+y2=2x，因此曲面在xOy面上的投影区域D={(x, y) ∣ x2+y2≤2x}，  被割曲面的方程为z=x2+y2 ​，1+(∂x∂z​)2+(∂y∂z​)2 ​=1+x2+y2x2+y2​ ​=2 ​，  所求曲面的面积为A=∬D​2 ​dxdy=2 ​π.​​

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$\begin{array}{rlr}& 3.求底圆半径相等的两个直交圆柱面x^2+y^2=R^2及x^2+z^2=R^2所围立体的表面积.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设第一卦限内的相交部分的表面积为A，根据对称性可知，全部表面积为16A，& \\ & & \\ & A={\iint }_D\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy={\iint }_D\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}+0}dxdy={\iint }_D\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}dxdy=& \\ & & \\ & R{\int }_0^{R}dx{\int }_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}dy=R{\int }_0^{R}dx=R^2，因此全部表面积为16R^2.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 4.设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的质心:& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)D由y=\sqrt{2px}，x=x_0，y=0所围成；& \\ & & \\ & (2)D是半椭圆形闭区域\left\{(x,y)|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1，y\ge 0\right\}；& \\ & & \\ & (3)D是界于两个圆\rho =acos\theta ，\rho =bcos\theta (0<a<b)之间的闭区域.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)设质心为(\overline{x},\overline{y})，A={\iint }_{D}dxdy={\int }_0^{x_0}dx{\int }_0^{\sqrt{2px}}dy={\int }_0^{x_0}\sqrt{2px}dx=\frac{2}{3}\sqrt{2p{x}_0^3}，& \\ & & \\ & {\iint }_{D}xdxdy={\int }_0^{x_0}xdx{\int }_0^{\sqrt{2px}}dy={\int }_0^{x_0}\sqrt{2p}{x}^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}\sqrt{2p{x}_0^5}，& \\ & & \\ & {\iint }_{D}ydxdy={\int }_0^{x_0}dx{\int }_0^{\sqrt{2px}}ydy={\int }_0^{x_0}pxdx=\frac{1}{2}p{x}_0^2，因此& \\ & & \\ & \overline{x}=\frac{1}{A}{\iint }_{D}xdxdy=\frac{3}{5}{x}_0，\overline{y}=\frac{1}{A}{\iint }_{D}ydxdy=\frac{3}{8}\sqrt{2p{x}_0}=\frac{3}{8}{y}_0，所求质心为\left(\frac{3}{5}{x}_0,\frac{3}{8}{y}_0\right).& \\ & & \\ & (2)因为D关于y轴对称，所以质心位于y轴上，因此\overline{x}=0，\overline{y}=\frac{1}{A}{\iint }_{D}ydxdy=\frac{1}{A}{\int }_{-a}^{a}dx{\int }_0^{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}ydy=& \\ & & \\ & \frac{1}{A}{\int }_{-a}^a\frac{b^2}{2a^2}(a^2-x^2)dx=\frac{1}{\frac{\pi ab}{2}}\cdot \frac{2}{3}a{b}^2=\frac{4b}{3\pi }，因此质心为\left(0,\frac{4b}{3\pi }\right).& \\ & & \\ & (3)因为D关于x轴对称，所以质心位于x轴上，因此\overline{y}=0，A=\pi {\left(\frac{b}{2}\right)}^2-\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}(b^2-a^2)，& \\ & & \\ & {\iint }_{D}xdxdy={\iint }_D\rho cos\theta \cdot \rho d\rho d\theta ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos\theta d\theta {\int }_{acos\theta }^{bcos\theta }{\rho }^{2}d\rho =\frac{2}{3}(b^3-a^3){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^4\theta d\theta =& \\ & & \\ & \frac{2}{3}(b^3-a^3)\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{8}(b^3-a^3)，因此\overline{x}=\frac{1}{A}{\iint }_{D}xdxdy=\frac{a^2+ab+b^2}{2(a+b)}，所求质心为\left(\frac{a^2+ab+b^2}{2(a+b)},0\right).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x^2及直线y=x所围成，它在点(x,y)处的& \\ & & \\ & 面密度\mu (x,y)=x^{2}y，求该薄片的质心.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& M={\iint }_D{x}^{2}ydxdy={\int }_0^1{x}^{2}dx{\int }_{x^2}^{x}ydy={\int }_0^1\frac{1}{2}(x^4-x^6)dx=\frac{1}{35}，& \\ & & \\ & M_x={\iint }_{D}y\mu (x,y)dxdy={\iint }_D{x}^2{y}^{2}dxdy={\int }_0^1{x}^{2}dx{\int }_{x^2}^x{y}^{2}dy={\int }_0^1\frac{1}{3}(x^5-x^8)dx=\frac{1}{54}，& \\ & & \\ & M_y={\iint }_{D}x\mu (x,y)dxdy={\iint }_D{x}^{3}ydxdy={\int }_0^1{x}^{3}dx{\int }_{x^2}^{x}ydy={\int }_0^1\frac{1}{2}(x^5-x^7)dx=\frac{1}{48}，& \\ & & \\ & 因此\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{35}{48}，\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{35}{54}，所求质心为\left(\frac{35}{48},\frac{35}{54}\right).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，& \\ & & \\ & 求这薄片的质心.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 面密度\mu (x,y)=x^2+y^2，根据对称性可知\overline{x}=\overline{y}，M={\iint }_D(x^2+y^2)dxdy={\int }_0^{a}dx{\int }_0^{a-x}(x^2+y^2)dy=& \\ & & \\ & {\int }_0^a\left[x^2(a-x)+\frac{(a-x{)}^3}{3}\right]dx=\frac{1}{6}{a}^4，M_y={\iint }_{D}x(x^2+y^2)dxdy={\int }_0^{a}xdx{\int }_0^{a-x}(x^2+y^2)dy=& \\ & & \\ & {\int }_0^a\left[x^3(a-x)+\frac{x(a-x{)}^3}{3}\right]dx={\int }_0^a\left(-\frac{4}{3}{x}^4+2a{x}^3-a^2{x}^2+\frac{a^3}{3}x\right)dx=\frac{1}{15}{a}^5，& \\ & & \\ & 因此\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{2}{5}a，\overline{y}=\overline{x}=\frac{2}{5}a，所求质心为\left(\frac{2}{5}a,\frac{2}{5}a\right).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 7.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度\rho =1）:& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)z^2=x^2+y^2，z=1；& \\ & & \\ & (2)z=\sqrt{A^2-x^2-y^2}，z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}(A>a>0)，z=0；& \\ & & \\ & (3)z=x^2+y^2，x+y=a，x=0，y=0，z=0.& \end{array}$

解：

   ( 1 )   曲 面 所 围 立 体 为 圆 锥 体 ， 顶 点 在 原 点 ， 关 于 z 轴 对 称 ， 又 因 是 匀 质 ， 因 此 质 心 位 于 z 轴 上 ， 即 x ‾ = y ‾ = 0 ，          所 围 立 体 体 积 为 V = 1 3 π ， z ‾ = 1 V ∭ Ω z d v = 1 V ∬ x 2 + y 2 ≤ 1 d x d y ∫ x 2 + y 2 1 z d z = 1 V ∬ x 2 + y 2 ≤ 1 1 2 ( 1 − x 2 − y 2 ) d x d y =          1 V ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ρ d ρ = 3 π ⋅ 2 π ⋅ 1 2 [ ρ 2 2 − ρ 4 4 ] 0 1 = 3 4 ， 所 求 质 心 为 ( 0 ,   0 ,   3 4 ) .    ( 2 )   立 体 由 两 个 同 心 的 上 半 球 面 和 x O y 面 围 成 ， 关 于 z 轴 对 称 ， 因 为 是 匀 质 ， 质 心 位 于 z 轴 上 ， 即 x ‾ = y ‾ = 0 ，          体 积 为 V = 2 3 π ( A 3 − a 3 ) ， z ‾ = 1 V ∭ Ω z d v = 1 V ∭ Ω r c o s   φ ⋅ r 2 s i n   φ d r d φ d θ =          1 V ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 s i n   φ c o s   φ d φ ∫ a A r 3 d r = 3 2 π ( A 3 − a 3 ) ⋅ 2 π ⋅ 1 2 ⋅ A 4 − a 4 4 = 3 ( A 4 − a 4 ) 8 ( A 3 − a 3 ) ，          所 求 质 心 为 ( 0 ,   0 ,   3 ( A 4 − a 4 ) 8 ( A 3 − a 3 ) ) .    ( 3 )   Ω = { ( x ,   y ,   z )   ∣   0 ≤ x ≤ a ， 0 ≤ y ≤ a − x ， 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 } ， V = ∭ Ω d v = ∫ 0 a d x ∫ 0 a − x d y ∫ 0 x 2 + y 2 d z =          ∫ 0 a d x ∫ 0 a − x ( x 2 + y 2 ) d y = ∫ 0 a [ x 2 ( a − x ) + 1 3 ( a − x ) 3 ] d x = ∫ 0 a [ a x 2 − x 3 + 1 3 ( a − x ) 3 ] d x = 1 6 a 4 ，          z ‾ = 1 V ∭ Ω z d v = 1 V ∫ 0 a d x ∫ 0 a − x d y ∫ 0 x 2 + y 2 z d z = 1 V ∫ 0 a d x ∫ 0 a − x 1 2 ( x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) d y =          1 2 V ∫ 0 a [ x 4 ( a − x ) + 2 3 x 2 ( a − x ) 3 + 1 5 ( a − x ) 5 ] d x = 3 a 4 ⋅ 7 a 6 90 = 7 30 a 2 ，          x ‾ = 1 V ∭ Ω x d v = 1 V ∫ 0 a x d x ∫ 0 a − x d y ∫ 0 x 2 + y 2 d z = 1 V ∫ 0 a x [ x 2 ( a − x ) + 1 3 ( a − x ) 3 ] d x = 6 a 4 ⋅ a 5 15 = 2 5 a ，          因 为 立 体 匀 质 ， 并 且 关 于 平 面 y = x 对 称 ， 所 以 y ‾ = x ‾ = 2 5 a ， 所 求 质 心 为 ( 2 5 a ,   2 5 a ，   7 30 a 2 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 曲面所围立体为圆锥体，顶点在原点，关于z轴对称，又因是匀质，因此质心位于z轴上，即\overline{x}=\overline{y}=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所围立体体积为V=\frac{1}{3}\pi，\overline{z}=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega}zdv=\frac{1}{V}\iint_{x^2+y^2 \le 1}dxdy\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1}zdz=\frac{1}{V}\iint_{x^2+y^2 \le 1}\frac{1}{2}(1-x^2-y^2)dxdy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{V}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\frac{1}{2}(1-\rho^2)\rho d\rho=\frac{3}{\pi}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\left[\frac{\rho^2}{2}-\frac{\rho^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{3}{4}，所求质心为\left(0, \ 0, \ \frac{3}{4}\right).\\\\ &\ \ (2)\ 立体由两个同心的上半球面和xOy面围成，关于z轴对称，因为是匀质，质心位于z轴上，即\overline{x}=\overline{y}=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 体积为V=\frac{2}{3}\pi(A^3-a^3)，\overline{z}=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega}zdv=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega}rcos\ \varphi \cdot r^2sin\ \varphi dr d\varphi d\theta=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{V}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin\ \varphi cos\ \varphi d\varphi \int_{a}^{A}r^3dr=\frac{3}{2\pi(A^3-a^3)}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{A^4-a^4}{4}=\frac{3(A^4-a^4)}{8(A^3-a^3)}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所求质心为\left(0, \ 0, \ \frac{3(A^4-a^4)}{8(A^3-a^3)}\right).\\\\ &\ \ (3)\ \Omega=\{(x, \ y, \ z)\ |\ 0 \le x \le a，0 \le y \le a-x，0 \le z \le x^2+y^2\}，V=\iiint_{\Omega}dv=\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a-x}dy\int_{0}^{x^2+y^2}dz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a-x}(x^2+y^2)dy=\int_{0}^{a}\left[x^2(a-x)+\frac{1}{3}(a-x)^3\right]dx=\int_{0}^{a}\left[ax^2-x^3+\frac{1}{3}(a-x)^3\right]dx=\frac{1}{6}a^4，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \overline{z}=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega}zdv=\frac{1}{V}\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a-x}dy\int_{0}^{x^2+y^2}zdz=\frac{1}{V}\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a-x}\frac{1}{2}(x^4+2x^2y^2+y^4)dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2V}\int_{0}^{a}\left[x^4(a-x)+\frac{2}{3}x^2(a-x)^3+\frac{1}{5}(a-x)^5\right]dx=\frac{3}{a^4}\cdot \frac{7a^6}{90}=\frac{7}{30}a^2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \overline{x}=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega}xdv=\frac{1}{V}\int_{0}^{a}xdx\int_{0}^{a-x}dy\int_{0}^{x^2+y^2}dz=\frac{1}{V}\int_{0}^{a}x\left[x^2(a-x)+\frac{1}{3}(a-x)^3\right]dx=\frac{6}{a^4}\cdot \frac{a^5}{15}=\frac{2}{5}a，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 因为立体匀质，并且关于平面y=x对称，所以\overline{y}=\overline{x}=\frac{2}{5}a，所求质心为\left(\frac{2}{5}a, \ \frac{2}{5}a，\ \frac{7}{30}a^2\right). & \end{aligned} ​  (1) 曲面所围立体为圆锥体，顶点在原点，关于z轴对称，又因是匀质，因此质心位于z轴上，即x=y​=0，        所围立体体积为V=31​π，z=V1​∭Ω​zdv=V1​∬x2+y2≤1​dxdy∫x2+y2 ​1​zdz=V1​∬x2+y2≤1​21​(1−x2−y2)dxdy=        V1​∫02π​dθ∫01​21​(1−ρ2)ρdρ=π3​⋅2π⋅21​[2ρ2​−4ρ4​]01​=43​，所求质心为(0, 0, 43​).  (2) 立体由两个同心的上半球面和xOy面围成，关于z轴对称，因为是匀质，质心位于z轴上，即x=y​=0，        体积为V=32​π(A3−a3)，z=V1​∭Ω​zdv=V1​∭Ω​rcos φ⋅r2sin φdrdφdθ=        V1​∫02π​dθ∫02π​​sin φcos φdφ∫aA​r3dr=2π(A3−a3)3​⋅2π⋅21​⋅4A4−a4​=8(A3−a3)3(A4−a4)​，        所求质心为(0, 0, 8(A3−a3)3(A4−a4)​).  (3) Ω={(x, y, z) ∣ 0≤x≤a，0≤y≤a−x，0≤z≤x2+y2}，V=∭Ω​dv=∫0a​dx∫0a−x​dy∫0x2+y2​dz=        ∫0a​dx∫0a−x​(x2+y2)dy=∫0a​[x2(a−x)+31​(a−x)3]dx=∫0a​[ax2−x3+31​(a−x)3]dx=61​a4，        z=V1​∭Ω​zdv=V1​∫0a​dx∫0a−x​dy∫0x2+y2​zdz=V1​∫0a​dx∫0a−x​21​(x4+2x2y2+y4)dy=        2V1​∫0a​[x4(a−x)+32​x2(a−x)3+51​(a−x)5]dx=a43​⋅907a6​=307​a2，        x=V1​∭Ω​xdv=V1​∫0a​xdx∫0a−x​dy∫0x2+y2​dz=V1​∫0a​x[x2(a−x)+31​(a−x)3]dx=a46​⋅15a5​=52​a，        因为立体匀质，并且关于平面y=x对称，所以y​=x=52​a，所求质心为(52​a, 52​a， 307​a2).​​