《编程思维与实践》1067.小型组合数

题目

思路

法一:

注意到题目数据最大为$C_{40}^{20}=137846528820$在long long的范围内,所以其实可以不用大整数的处理方法去计算:

由于$C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}=\frac{m(m-1)...(m-(n-1))}{n(n-1)...2\cdot 1}$ , 注意到$1|m,2|m(m-1),3|m(m-1)(m-2)\dots$

这是因为连续出现的n个数字的乘积必然会存在因子n(可用归纳法证明).

所以只需要将结果依次乘m(m-1)…(m-(n-1))的每一位,然后依次除去因子1,2,3….n即可.

注意的点:

中间步骤可能数据会超过long long的范围, 应该用unsigned long long去存.

法二:

用大整数的处理方式去计算,但需要运用组合数的递推公式$C_m^n=C_{m-1}^n+C_{m-1}^{n-1}$ ;

记dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-1][m-1],

初始化dp[0][m]=1,dp[m][0]=0,

之后先遍历n(从1到40)再遍历m(从1到40).

代码

法一:

#include<stdio.h>

int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	for(int t=0;t<T;t++)
	{
		int m,n;
		scanf("%d %d",&m,&n);
		unsigned long long ans=1;
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			ans*=m-j;
			ans/=j+1;
		}
		printf("case #%d:\n",t);
		printf("%llu\n",ans);
	}
	return 0;
} 

法二:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define N 100 
#define L 40     // dp[40][40]

typedef struct{int cnt,v[N];}BIGINT;

BIGINT carry(BIGINT S,int n);   //进位 n表示进制 
BIGINT int2BIG(int x,int bin);  //int 转换(to)成BIGINT 
BIGINT add(BIGINT S, BIGINT T);     //两个大整数相加

int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	BIGINT dp[L+1][L+1];
	for(int i=0;i<L+1;i++)
	{
		for(int j=0;j<L+1;j++)
		{
			dp[i][j]=int2BIG(0,10);
		} 
	}
	for(int j=0;j<L+1;j++)
	{
		dp[0][j]=int2BIG(1,10);	
	}
	for(int i=1;i<L+1;i++)
	{
		for(int j=1;j<L+1;j++)
		{
			dp[i][j]=add(dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]);
		}
	}
	for(int t=0;t<T;t++)
	{
		int m,n;
		scanf("%d%d",&m,&n);
		printf("case #%d:\n",t);
		for(int i=dp[n][m].cnt-1;i>=0;i--)  //逆向输出
		{
			printf("%d",dp[n][m].v[i]);
		}
		printf("\n");
	}
    return 0;
}

BIGINT carry(BIGINT S,int n)   //进位 n表示进制 
{
	int flag=0;
	for(int i=0;i<S.cnt;i++)
	{
		int temp=S.v[i]+flag;
		S.v[i]=temp%n;
		flag=temp/n;
	}
    if(flag)   //为了加法进行的方便 可能多一位
    {
        S.v[S.cnt++]=flag;
    }
	return S;
}

BIGINT int2BIG(int x,int bin)  //int 转换(to)成BIGINT 
{
    BIGINT R={0,{0}};
	do
	{
	    R.v[R.cnt++]=x%bin;
	    x/=bin;
	}while(x>0);
	return R;
}

BIGINT add(BIGINT S, BIGINT T)     //两个大整数相加
{
	int max=S.cnt>T.cnt?S.cnt:T.cnt;
	BIGINT R={max,{0}};
	for(int i=0;i<max;i++)
	{
		R.v[i]=S.v[i]+T.v[i];   //依次进行普通乘法
	}
	R=carry(R,10);
	return R;
}