前言

这题挺有意思的，典型的背包组合问题，虽然没有要求各种组合方式，不过我们可以试试给出组合方式。当然这题不太可能用一行代码解决了…来看一行超人的可别失望了~ 本文满满的干货！写了两天呢！
先上100分图：
在这里插入图片描述

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

0、题目

题目描述：
有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱(n<100000)，有多少中组合可以组成n分钱？

输入描述：
输入整数n.(1<=n<=100000)

输出描述：
输出组合数，答案对1e9+7取模。

一、暴力总是不能解决问题的

老规矩，遇到问题先暴力一波！

代码如下（示例）：

def force(n):
    res = 0
    for i in range(n+1):
        for j in range(n//2+1):
            for k in range(n//5+1):
                for l in range(n//10+1):
                    if i + j*2 + k*5 + l*10 == n:
                        res += 1
    return res
    
if __name__ == "__main__":
    n = 1000
    result = force(n)
    print(result)

多么的错落有致的代码！太优美了。可惜好看归好看，好写也是真好写，n=100时，它费了一秒钟就算出来2156了！但当n=1000时，它就算不出来了！这破代码幼儿园小朋友扳手指头都比它强！丢远点~

二、还能更暴力一点

明显可以模拟实际情况一个个取硬币来实现，最多有四种面额，就循环四次，每次取一个，不够值就递归去取，一直取到n==0，就是一种方法，添加到列表。想法很好！

代码如下（示例）：

def reduce(n, path=[]):
    coins = [10, 5, 2, 1]
    res = []  # 初始化结果列表
    if n == 0:  # 如果n为0，说明已经找到了一种方案
        res.append(path)  # 将这个方案添加到结果列表中
        return res  # 返回结果列表
    for coin in coins:  # 遍历硬币面额
        if n >= coin:  # 如果当前硬币面额小于等于n
            new_path = path + [coin]  # 更新path，加入新取的硬币
            res += reduce(n - coin, path=new_path)  # 继续递归，更新n和path
    return res  # 返回结果列表

if __name__ == "__main__":
    n = 100
    result = reduce(n)
    result = [sorted(v) for v in result]
    res = []
    for x in result:
        if x not in res:
            res.append(x)
    print(res.__len__())

果然能成，n=10的情况，biu一下就算出来11了，因为给出的是各种取法，所以要去重。最后列表len值就是方法数了。可惜正如笔者在博文小议递归:https://blog.csdn.net/alal001/article/details/130436551中所写，这种干重复活的递归都是不靠谱的！这破玩意连n=100都算不出来！我也算不出这玩意的时间复杂度了…

三、减少暴力思想

很明白的看出，越暴力越不能解决问题！
递归是可以拆解的，我们就就把它拆简单点，毕竟计算机是机械的执行命令的。咱也不要硬币的组成的方式了，数字大了真顶不住的！

稍微想想就知道，只用1分的硬币，组成任何数都只有一个办法。
只用2分和1分的硬币，不计全1分的情况就是n//2个情况。
哈~ 咱是正经小学毕业的！算不出来用1，2，5三种的情况了。没关系这部分交给计算机算。

代码如下（示例）：

def only_125(n):   # 这是只用1、2、5的情况
    only_12 = lambda n: n//2   # 这是只用2的情况
    res = 0
    while n > 0:
        if n < 5:
            res += only_12(n)
            break
        else:
            res = res + 1 + only_12(n)
            n -= 5
    return res
    
def main(n):     # 主函数
    only_1 = 1   # 这是只用1的情况
    res = 0
    while n > 0:
        if n < 5:  
            res += n//2
            break
        elif n < 10:   
            res = res + 1 + n//2   # 加1是有一个5的情况，n//2是全1、2的情况
            n -= 5   # 减掉一个5后，余下转到小于5处理
        else:
            res = res + only_125(n) + 1
            n -= 10
    return res + only_1
    
if __name__ == "__main__":
    n = 100000
    print(main(n))

这逻辑就够简单明了，而且效率大幅提升！ n = 100000 虽然用了几秒，但也算出来了。就还是不能过网页测试…
嗯~ 再把1、2、5三种的组合情况简化一下就行了！但那就成纯数学公式了，体现不了咱的技术水平，嗯~ 主要咱也推导不出那公式…

四、引入先进思想

痛定思痛，咱学习数学去，小学数学老师总是教导我们要找规律：
咱换个想法，靠计算估计只能去解决上面的1、2、5组合的简化方法了。所以数学不好就别计算了，咱画表格！假设存在一张表格，里面记录了各种硬币组成n的数量…咱查表就解决了，这就老快了！
那么问题转移到如何生成这张表格了！也就是如何找规律的问题：

代码如下（示例）：

def dpway(n):
    dp = [0] * (n + 1)  # 初始化dp数组，dp[i]表示组成i分钱的方案数
    dp[0] = 1  # 初始化dp[0]为1，因为组成0分钱只有一种方案，即不选硬币
    for coin in [1, 2, 5, 10]:  # 遍历硬币面额
        for i in range(coin, n + 1):  # 遍历每个分钱数
            dp[i] = (dp[i] + dp[i - coin])  # 计算组成i分钱的方案数

    return dp[n]  # 返回组成n分钱的方案数

if __name__ == "__main__":
    n = 100
    #result = force(n)
    #result = reduce(n)
    result = dpway(n)
    print(result)