此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础
第九章：线性系统的状态空间分析与综合
Example 9.36
已知系统动态方程为：
x
˙
=
[
1
2
0
3
−
1
1
0
2
0
]
x
+
[
0
0
1
]
u
，
y
=
[
1
1
1
]
x
\dot{x}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}x
x˙=⎣⎡1302−12010⎦⎤x+⎣⎡001⎦⎤u，y=[111]x
试问：
- 能否用状态反馈将系统的闭环极点配置在 − 3 , − 4 , − 5 -3,-4,-5 −3,−4,−5处？若有可能，求出该状态反馈；
- 该系统的状态观测器是否存在？若存在，请设计一个极点位于 − 3 , − 4 , − 5 -3,-4,-5 −3,−4,−5处的全维状态观测器；
解：
-
状态反馈设计。
系统的可控性及其秩为：
S = [ b A b A 2 b ] = [ 0 0 2 0 1 − 1 1 0 2 ] ， r a n k S = 3 S=\begin{bmatrix} b & Ab & A^2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}，{\rm rank}S=3 S=[bAbA2b]=⎣⎡0010102−12⎦⎤，rankS=3
因此系统可控，可以通过状态反馈将其极点任意配置。设将系统的闭环极点配置在期望位置上的状态反馈为负反馈，其反馈增益向量为：
k = [ k 1 k 2 k 3 ] k=\begin{bmatrix} k_1 & k_2 & k_3 \end{bmatrix} k=[k1k2k3]
系统的闭环特征多项式为：
f k ( λ ) = det [ λ I − ( A − b k ) ] = λ 3 + k 3 λ 2 + ( k 2 − 9 ) λ − ( 7 k 3 + k 2 − 2 k 1 − 2 ) f_k(\lambda)=\det[\lambda{I}-(A-bk)]=\lambda^3+k_3\lambda^2+(k_2-9)\lambda-(7k_3+k_2-2k_1-2) fk(λ)=det[λI−(A−bk)]=λ3+k3λ2+(k2−9)λ−(7k3+k2−2k1−2)
闭环系统的期望特征多项式为：
f k ∗ ( λ ) = ( λ + 3 ) ( λ + 4 ) ( λ + 5 ) = λ 3 + 12 λ 2 + 47 λ + 60 f_k^*(\lambda)=(\lambda+3)(\lambda+4)(\lambda+5)=\lambda^3+12\lambda^2+47\lambda+60 fk∗(λ)=(λ+3)(λ+4)(λ+5)=λ3+12λ2+47λ+60
比较上两式系数可得：
k 1 = 99 , k 2 = 56 , k 3 = 12 k_1=99,k_2=56,k_3=12 k1=99,k2=56,k3=12
因此系统的反馈增益向量为：
k = [ 99 56 12 ] k=\begin{bmatrix} 99 & 56 & 12 \end{bmatrix} k=[995612] -
观测器设计。
系统可观测性矩阵及其秩为：
V = [ c c A c A 2 ] = [ 1 1 1 4 3 1 13 7 3 ] ， r a n k V = 3 V=\begin{bmatrix} c\\ cA\\ cA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 4 & 3 & 1\\ 13 & 7 & 3 \end{bmatrix}，{\rm rank}V=3 V=⎣⎡ccAcA2⎦⎤=⎣⎡1413137113⎦⎤，rankV=3
故系统可观测，可以通过状态观测器来获取状态向量。利用输出至状态微分的负反馈来配置极点，为了获取满足要求的反馈增益向量 h h h，先将 ( A , c ) (A,c) (A,c)化为可观测标准型 ( A ‾ ， c ‾ ) (\overline{A}，\overline{c}) (A，c)。
由于
det ( λ I − A ) = λ 3 − 9 λ + 2 \det(\lambda{I}-A)=\lambda^3-9\lambda+2 det(λI−A)=λ3−9λ+2
即 a 1 = 0 , a 2 = − 9 , a 3 = 2 a_1=0,a_2=-9,a_3=2 a1=0,a2=−9,a3=2，所以变换矩阵为：
T = [ a 2 a 1 1 a 1 1 0 1 0 0 ] V = [ − 9 0 1 0 1 0 1 0 0 ] [ 1 1 1 4 3 1 13 7 3 ] = [ 4 − 2 − 6 4 3 1 1 1 1 ] T − 1 = 1 8 [ 2 − 4 16 − 3 10 − 28 1 − 6 20 ] \begin{aligned} &T=\begin{bmatrix} a_2 & a_1 & 1\\ a_1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}V=\begin{bmatrix} -9 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 4 & 3 & 1\\ 13 & 7 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -2 & -6\\ 4 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\\\ &T^{-1}=\displaystyle\frac{1}{8}\begin{bmatrix} 2 & -4 & 16\\ -3 & 10 & -28\\ 1 & -6 & 20 \end{bmatrix} \end{aligned} T=⎣⎡a2a11a110100⎦⎤V=⎣⎡−901010100⎦⎤⎣⎡1413137113⎦⎤=⎣⎡441−231−611⎦⎤T−1=81⎣⎡2−31−410−616−2820⎦⎤
则有
A ‾ = T A T − 1 = [ 0 0 − a 3 1 0 − a 2 0 1 − a 1 ] = [ 0 0 − 2 1 0 9 0 1 0 ] ， c ‾ = c T − 1 = [ 0 0 1 ] \overline{A}=TAT^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -a_3\\ 1 & 0 & -a_2\\ 0 & 1 & -a_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2\\ 1 & 0 & 9\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}，\overline{c}=cT^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A=TAT−1=⎣⎡010001−a3−a2−a1⎦⎤=⎣⎡010001−290⎦⎤，c=cT−1=[001]
设 h ‾ = [ h ‾ 1 h ‾ 2 h ‾ 3 ] T \overline{h}=\begin{bmatrix}\overline{h}_1 & \overline{h}_2 & \overline{h}_3\end{bmatrix}^T h=[h1h2h3]T，可得：
A ‾ − h ‾ c ‾ = [ 0 0 − 2 − h ‾ 1 1 0 9 − h ‾ 2 0 1 − h ‾ 3 ] \overline{A}-\overline{h}\overline{c}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2-\overline{h}_1\\ 1 & 0 & 9-\overline{h}_2\\ 0 & 1 & -\overline{h}_3 \end{bmatrix} A−hc=⎣⎡010001−2−h19−h2−h3⎦⎤
状态观测器的特征多项式为：
f h ( λ ) = det [ λ I − ( A ‾ − h ‾ c ‾ ) ] = λ 3 + h ‾ 3 λ 2 + ( h ‾ 2 − 9 ) λ + ( h ‾ 1 + 2 ) f_h(\lambda)=\det[\lambda{I}-(\overline{A}-\overline{h}\overline{c})]=\lambda^3+\overline{h}_3\lambda^2+(\overline{h}_2-9)\lambda+(\overline{h}_1+2) fh(λ)=det[λI−(A−hc)]=λ3+h3λ2+(h2−9)λ+(h1+2)
期望状态观测器的特征多项式为：
f h ∗ ( λ ) = ( λ + 3 ) ( λ + 4 ) ( λ + 5 ) = λ 3 + 12 λ 2 + 47 λ + 60 f_h^*(\lambda)=(\lambda+3)(\lambda+4)(\lambda+5)=\lambda^3+12\lambda^2+47\lambda+60 fh∗(λ)=(λ+3)(λ+4)(λ+5)=λ3+12λ2+47λ+60
比较两特征多项式系数可得：
h ‾ 1 = 58 ， h ‾ 2 = 56 ， h ‾ 3 = 12 ⇒ h ‾ = [ 58 56 12 ] T \overline{h}_1=58，\overline{h}_2=56，\overline{h}_3=12\Rightarrow\overline{h}=\begin{bmatrix} 58 & 56 & 12 \end{bmatrix}^T h1=58，h2=56，h3=12⇒h=[585612]T
所以
h = T − 1 h ‾ = 1 8 [ 2 − 4 16 − 3 10 − 28 1 − 6 20 ] [ 58 56 12 ] = [ 10.5 6.25 − 4.75 ] h=T^{-1}\overline{h}=\displaystyle\frac{1}{8}\begin{bmatrix} 2 & -4 & 16\\ -3 & 10 & -28\\ 1 & -6 & 20 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 58\\56\\12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10.5\\6.25\\-4.75 \end{bmatrix} h=T−1h=81⎣⎡2−31−410−616−2820⎦⎤⎣⎡585612⎦⎤=⎣⎡10.56.25−4.75⎦⎤
要设计的全维观测器为： x ^ ˙ = ( A − h c ) x ^ + h y + b u \dot{\hat{x}}=(A-hc)\hat{x}+hy+bu x^˙=(A−hc)x^+hy+bu，即
x ^ ˙ = [ − 9.5 − 8.5 − 10.5 − 3.25 − 7.25 − 5.25 4.75 6.75 4.75 ] x ^ + [ 10.5 6.25 − 4.75 ] y + [ 0 0 1 ] u \dot{\hat{x}}=\begin{bmatrix} -9.5 & -8.5 & -10.5\\ -3.25 & -7.25 & -5.25\\ 4.75 & 6.75 & 4.75 \end{bmatrix}\hat{x}+\begin{bmatrix} 10.5\\6.25\\-4.75 \end{bmatrix}y+\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u x^˙=⎣⎡−9.5−3.254.75−8.5−7.256.75−10.5−5.254.75⎦⎤x^+⎣⎡10.56.25−4.75⎦⎤y+⎣⎡001⎦⎤u -
系统结构图。
-
复合形式。
由于被控系统 ( A , b , c ) (A,b,c) (A,b,c)完全可控可观测，因此利用全维状态观测器的估计值进行状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，互不影响，满足分离特性。对于带全维观测器的系统，写成复合形式为：
[ x ˙ x ^ ˙ ] = [ A − b k h c A − b k − h c ] [ x x ^ ] + [ b b ] v = [ 1 2 0 0 0 0 3 − 1 1 0 0 0 0 2 0 − 99 − 56 − 12 10.5 10.5 10.5 − 9.5 − 8.5 − 10.5 6.25 6.25 6.25 − 3.25 − 7.25 − 5.25 − 4.75 − 4.75 − 4.75 − 94.25 − 49.25 − 7.25 ] [ x 1 x 2 x 3 x ^ 1 x ^ 2 x ^ 3 ] + [ 0 0 1 0 0 1 ] v \begin{aligned} \begin{bmatrix} \dot{x}\\ \dot{\hat{x}} \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} A & -bk\\ hc & A-bk-hc \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ \hat{x} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b\\ b \end{bmatrix}v\\\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -99 & -56 & -12\\ 10.5 & 10.5 & 10.5 & -9.5 & -8.5 & -10.5\\ 6.25 & 6.25 & 6.25 & -3.25 & -7.25 & -5.25\\ -4.75 & -4.75 & -4.75 & -94.25 & -49.25 & -7.25 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\ \hat{x}_1\\\hat{x}_2\\\hat{x}_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\0\\1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}v \end{aligned} [x˙x^˙]=[Ahc−bkA−bk−hc][xx^]+[bb]v=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡13010.56.25−4.752−1210.56.25−4.7501010.56.25−4.7500−99−9.5−3.25−94.2500−56−8.5−7.25−49.2500−12−10.5−5.25−7.25⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x2x3x^1x^2x^3⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡001001⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤v
对于复合系统，由于原系统完全可控可观测，因此复合系统的特征值是由状态反馈子系统和全维观测器的特征值组成，且两部分的特征值相互独立，彼此不受影响。故该复合系统的极点为： − 3 , − 4 , − 5 , − 3 , − 4 , − 5 -3,-4,-5,-3,-4,-5 −3,−4,−5,−3,−4,−5。
Example 9.37
试确定下列二次型函数的定号性：
- V ( x ) = 2 x 1 2 + 3 x 2 2 + x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 V(x)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3 V(x)=2x12+3x22+x32−2x1x2+2x1x3；
- V ( x ) = 8 x 1 2 + 2 x 2 2 + x 3 2 − 8 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 V(x)=8x_1^2+2x_2^2+x_3^2-8x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3 V(x)=8x12+2x22+x32−8x1x2+2x1x3−2x2x3；
- V ( x ) = − x 1 2 − 4 x 2 2 − 4 x 3 2 + 4 x 1 x 3 V(x)=-x_1^2-4x_2^2-4x_3^2+4x_1x_3 V(x)=−x12−4x22−4x32+4x1x3；
解：
-
V ( x ) = 2 x 1 2 + 3 x 2 2 + x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 V(x)=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3 V(x)=2x12+3x22+x32−2x1x2+2x1x3；
二次型函数的向量-矩阵形式：
V ( x ) = [ x 1 x 2 x 3 ] [ 2 − 1 1 − 1 3 0 1 0 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = x T P x V(x)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1\\ -1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=x^TPx V(x)=[x1x2x3]⎣⎡2−11−130101⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=xTPx
由于 P P P的顺序主子式为：
Δ 1 = 2 > 0 , Δ 2 = ∣ 2 − 1 − 1 3 ∣ = 5 > 0 , Δ 3 = ∣ 2 − 1 1 − 1 3 0 1 0 1 ∣ = 2 > 0 \Delta_1=2>0,\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & -1\\ -1 & 3 \end{vmatrix}=5>0,\Delta_3= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\ -1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=2>0 Δ1=2>0,Δ2=∣∣∣∣2−1−13∣∣∣∣=5>0,Δ3=∣∣∣∣∣∣2−11−130101∣∣∣∣∣∣=2>0
所以 V ( x ) V(x) V(x)正定。 -
V ( x ) = 8 x 1 2 + 2 x 2 2 + x 3 2 − 8 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 V(x)=8x_1^2+2x_2^2+x_3^2-8x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3 V(x)=8x12+2x22+x32−8x1x2+2x1x3−2x2x3；
二次型函数的向量-矩阵形式：
V ( x ) = [ x 1 x 2 x 3 ] [ 8 − 4 1 − 4 2 − 1 1 − 1 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = x T P x V(x)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 & -4 & 1\\ -4 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=x^TPx V(x)=[x1x2x3]⎣⎡8−41−42−11−11⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=xTPx
由于 P P P的顺序主子式为：
Δ 1 = 8 > 0 , Δ 2 = ∣ 8 − 4 − 4 2 ∣ = 0 , Δ 3 = ∣ 8 − 4 1 − 4 2 − 1 1 − 1 1 ∣ = − 4 < 0 \Delta_1=8>0,\Delta_2=\begin{vmatrix} 8 & -4\\ -4 & 2 \end{vmatrix}=0,\Delta_3= \begin{vmatrix} 8 & -4 & 1\\ -4 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=-4<0 Δ1=8>0,Δ2=∣∣∣∣8−4−42∣∣∣∣=0,Δ3=∣∣∣∣∣∣8−41−42−11−11∣∣∣∣∣∣=−4<0
所以 V ( x ) V(x) V(x)不定。 -
V ( x ) = − x 1 2 − 4 x 2 2 − 4 x 3 2 + 4 x 1 x 3 V(x)=-x_1^2-4x_2^2-4x_3^2+4x_1x_3 V(x)=−x12−4x22−4x32+4x1x3；
二次型函数的向量-矩阵形式：
V ( x ) = [ x 1 x 2 x 3 ] [ − 1 0 2 0 − 4 0 2 0 − 4 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = x T P x V(x)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2\\ 0 & -4 & 0\\ 2 & 0 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=x^TPx V(x)=[x1x2x3]⎣⎡−1020−4020−4⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=xTPx
由于 P P P的顺序主子式为：
Δ 1 = − 1 < 0 , Δ 2 = ∣ − 1 0 0 − 4 ∣ = 4 > 0 , Δ 3 = ∣ − 1 0 2 0 − 4 0 2 0 − 4 ∣ = 0 \Delta_1=-1<0,\Delta_2=\begin{vmatrix} -1 & 0\\ 0 & -4 \end{vmatrix}=4>0,\Delta_3= \begin{vmatrix} -1 & 0 & 2\\ 0 & -4 & 0\\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}=0 Δ1=−1<0,Δ2=∣∣∣∣−100−4∣∣∣∣=4>0,Δ3=∣∣∣∣∣∣−1020−4020−4∣∣∣∣∣∣=0
所以 V ( x ) V(x) V(x)负半定。
Example 9.38
确定下列二次型函数中待定系数的取值范围，使其成为正定的二次型函数：
- V ( x ) = x 1 2 + 2 x 2 2 + a x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 − 2 x 1 x 3 V(x)=x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3-2x_1x_3 V(x)=x12+2x22+ax32+2x1x2+2x2x3−2x1x3；
- V ( x ) = a x 1 2 + b x 2 2 + c x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 2 x 3 − 2 x 1 x 3 V(x)=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3-2x_1x_3 V(x)=ax12+bx22+cx32+2x1x2−4x2x3−2x1x3；
解：
-
V ( x ) = x 1 2 + 2 x 2 2 + a x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 − 2 x 1 x 3 V(x)=x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3-2x_1x_3 V(x)=x12+2x22+ax32+2x1x2+2x2x3−2x1x3；
二次型函数的向量-矩阵形式：
V ( x ) = [ x 1 x 2 x 3 ] [ 1 1 − 1 1 2 1 − 1 1 a ] [ x 1 x 2 x 3 ] = x T P x V(x)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=x^TPx V(x)=[x1x2x3]⎣⎡11−1121−11a⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=xTPx
由于 P P P的顺序主子式为：
Δ 1 = 1 > 0 , Δ 2 = ∣ 1 1 1 2 ∣ = 1 > 0 , Δ 3 = ∣ 1 1 − 1 1 2 1 − 1 1 a ∣ = a − 5 > 0 \Delta_1=1>0,\Delta_2=\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1>0,\Delta_3= \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & a \end{vmatrix}=a-5>0 Δ1=1>0,Δ2=∣∣∣∣1112∣∣∣∣=1>0,Δ3=∣∣∣∣∣∣11−1121−11a∣∣∣∣∣∣=a−5>0
因此使 V ( x ) V(x) V(x)正定的条件是： a > 5 a>5 a>5. -
V ( x ) = a x 1 2 + b x 2 2 + c x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 2 x 3 − 2 x 1 x 3 V(x)=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3-2x_1x_3 V(x)=ax12+bx22+cx32+2x1x2−4x2x3−2x1x3；
二次型函数的向量-矩阵形式：
V ( x ) = [ x 1 x 2 x 3 ] [ a 1 − 1 1 b − 2 − 1 − 2 c ] [ x 1 x 2 x 3 ] = x T P x V(x)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 1 & -1\\ 1 & b & -2\\ -1 & -2 & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=x^TPx V(x)=[x1x2x3]⎣⎡a1−11b−2−1−2c⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=xTPx
由于 P P P的顺序主子式为：
Δ 1 = a > 0 , Δ 2 = ∣ a 1 1 b ∣ = a b − 1 > 0 , Δ 3 = ∣ a 1 − 1 1 b − 2 − 1 − 2 c ∣ = c ( a b − 1 ) − 4 a − b + 4 > 0 \Delta_1=a>0,\Delta_2=\begin{vmatrix} a & 1\\ 1 & b \end{vmatrix}=ab-1>0,\Delta_3= \begin{vmatrix} a & 1 & -1\\ 1 & b & -2\\ -1 & -2 & c \end{vmatrix}=c(ab-1)-4a-b+4>0 Δ1=a>0,Δ2=∣∣∣∣a11b∣∣∣∣=ab−1>0,Δ3=∣∣∣∣∣∣a1−11b−2−1−2c∣∣∣∣∣∣=c(ab−1)−4a−b+4>0
因此使 V ( x ) V(x) V(x)正定的条件是： a > 0 , a b > 1 , a b c − 4 a − b − c > − 4 a>0,ab>1,abc-4a-b-c>-4 a>0,ab>1,abc−4a−b−c>−4.
Example 9.39
求下列各系统的平衡状态，并用李雅普诺夫方法判别系统在平衡状态处的稳定性：
- x ˙ ( t ) = [ − 1 2 3 − 4 ] x ( t ) \dot{x}(t)=\begin{bmatrix}-1&2\\3&-4\end{bmatrix}x(t) x˙(t)=[−132−4]x(t)；
- x ( k + 1 ) = [ 1 4 0 − 3 − 2 − 3 2 0 0 ] x ( k ) x(k+1)=\begin{bmatrix}1&4&0\\-3&-2&-3\\2&0&0\end{bmatrix}x(k) x(k+1)=⎣⎡1−324−200−30⎦⎤x(k)；
- x ( k + 1 ) = [ a 0 0 0 1 − 1 1 2 0 ] x ( k ) x(k+1)=\begin{bmatrix}a&0&0\\0&1&-1\\1&2&0\end{bmatrix}x(k) x(k+1)=⎣⎡a010120−10⎦⎤x(k)，其中 a a a为系统参量；
解：
【系统1】
由于系统的状态矩阵为：
A
=
[
−
1
2
3
−
4
]
，
det
A
=
−
2
≠
0
A=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ 3 & -4 \end{bmatrix}，\det{A}=-2≠0
A=[−132−4]，detA=−2=0
即
A
A
A是非奇异的，故原点
x
e
=
0
x_e=0
xe=0是该系统唯一的平衡状态。
设系统的李雅普诺夫函数及其导数分别为：
V
(
x
)
=
x
T
P
x
，
V
˙
(
x
)
=
−
x
T
Q
x
，
P
>
0
，
Q
>
0
，
P
T
=
P
V(x)=x^TPx，\dot{V}(x)=-x^TQx，P>0，Q>0，P^T=P
V(x)=xTPx，V˙(x)=−xTQx，P>0，Q>0，PT=P，则
A
T
P
+
P
A
=
−
Q
A^TP+PA=-Q
ATP+PA=−Q
取
Q
=
I
Q=I
Q=I，上式改写为：
[
−
1
3
2
−
4
]
[
p
11
p
12
p
12
p
22
]
+
[
p
11
p
12
p
12
p
22
]
[
−
1
2
3
−
4
]
=
[
−
1
0
0
−
1
]
\begin{bmatrix} -1 & 3\\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12}\\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12}\\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 3 & -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}
[−123−4][p11p12p12p22]+[p11p12p12p22][−132−4]=[−100−1]
解得：
P
=
[
−
1.15
−
0.55
−
0.55
−
0.15
]
P=\begin{bmatrix} -1.15 & -0.55\\ -0.55 & -0.15 \end{bmatrix}
P=[−1.15−0.55−0.55−0.15]
由于矩阵
P
P
P负定，故系统在平衡点
x
e
=
0
x_e=0
xe=0处非渐近稳定。由于
A
A
A的特征值为：
λ
1
=
0.3723
，
λ
2
=
−
5.3723
\lambda_1=0.3723，\lambda_2=-5.3723
λ1=0.3723，λ2=−5.3723，可见系统的原点平衡状态是不稳定的。
【系统2】
由于系统的状态矩阵为：
x
(
k
+
1
)
=
Φ
x
(
k
)
x(k+1)=\Phi{x(k)}
x(k+1)=Φx(k)，
Φ
=
[
1
4
0
−
3
−
2
−
3
2
0
0
]
，
det
(
Φ
−
I
)
≠
0
\Phi=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 0\\ -3 & -2 & -3\\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}，\det(\Phi-I)≠0
Φ=⎣⎡1−324−200−30⎦⎤，det(Φ−I)=0
故
x
e
=
0
x_e=0
xe=0为系统唯一的平衡点。
选取
V
(
x
(
k
)
)
=
x
T
P
x
(
k
)
，
Δ
V
(
x
(
k
)
)
=
−
x
T
(
k
)
Q
x
(
k
)
V(x(k))=x^TPx(k)，\Delta{V(x(k))}=-x^T(k)Qx(k)
V(x(k))=xTPx(k)，ΔV(x(k))=−xT(k)Qx(k)
其中：
Q
=
I
，
P
=
P
T
Q=I，P=P^T
Q=I，P=PT，代入离散李雅普诺夫方程：
Φ
T
P
Φ
−
P
=
−
Q
\Phi^TP\Phi-P=-Q
ΦTPΦ−P=−Q
即
[
1
−
3
2
4
−
2
0
0
−
3
0
]
[
p
11
p
12
p
13
p
12
p
22
p
23
p
13
p
23
p
33
]
[
1
4
0
−
3
−
2
−
3
2
0
0
]
−
[
p
11
p
12
p
13
p
12
p
22
p
23
p
13
p
23
p
33
]
=
[
−
1
0
0
0
−
1
0
0
0
−
1
]
\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2\\ 4 & -2 & 0\\ 0 & -3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13}\\ p_{12} & p_{22} & p_{23}\\ p_{13} & p_{23} & p_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0\\ -3 & -2 & -3\\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13}\\ p_{12} & p_{22} & p_{23}\\ p_{13} & p_{23} & p_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
⎣⎡140−3−2−3200⎦⎤⎣⎡p11p12p13p12p22p23p13p23p33⎦⎤⎣⎡1−324−200−30⎦⎤−⎣⎡p11p12p13p12p22p23p13p23p33⎦⎤=⎣⎡−1000−1000−1⎦⎤
解得：
P
=
[
−
0.0985
−
0.0683
−
0.0570
−
0.0683
−
0.1725
−
0.2151
−
0.0570
−
0.2151
−
0.5526
]
P=\begin{bmatrix} -0.0985 & -0.0683 & -0.0570\\ -0.0683 & -0.1725 & -0.2151\\ -0.0570 & -0.2151 & -0.5526 \end{bmatrix}
P=⎣⎡−0.0985−0.0683−0.0570−0.0683−0.1725−0.2151−0.0570−0.2151−0.5526⎦⎤
P
P
P非正定，所以该离散系统在平衡点
x
e
=
0
x_e=0
xe=0处非渐近稳定。
由 Φ \Phi Φ的特征值为： λ 1 , 2 = 0.5 ± j 3.4278 ， λ 3 = − 2 \lambda_{1,2}=0.5±{\rm j}3.4278，\lambda_3=-2 λ1,2=0.5±j3.4278，λ3=−2可知，系统的原点平衡状态是不稳定的。
【系统3】
由于系统的状态矩阵为：
x
(
k
+
1
)
=
Φ
x
(
k
)
x(k+1)=\Phi{x(k)}
x(k+1)=Φx(k)，
Φ
=
[
a
0
0
0
1
−
1
1
2
0
]
\Phi=\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}
Φ=⎣⎡a010120−10⎦⎤
由于在平衡点处有
x
(
k
+
1
)
=
x
(
k
)
x(k+1)=x(k)
x(k+1)=x(k)，因此
[
a
−
1
0
0
0
0
−
1
1
2
−
1
]
x
(
k
)
=
0
\begin{bmatrix} a-1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}x(k)=0
⎣⎡a−1010020−1−1⎦⎤x(k)=0
当
a
≠
1
a≠1
a=1时，
Φ
−
I
\Phi-I
Φ−I非奇异，故
x
e
=
0
x_e=0
xe=0为离散系统唯一的平衡点。当
a
=
1
a=1
a=1时，平衡点
x
e
=
[
β
0
β
]
T
x_e=\begin{bmatrix}\beta&0&\beta\end{bmatrix}^T
xe=[β0β]T，其中
β
\beta
β为任意常数。在
x
e
=
0
x_e=0
xe=0处，选取
V
(
x
(
k
)
)
=
x
T
(
k
)
P
x
(
k
)
，
Δ
V
(
x
(
k
)
)
=
−
x
T
(
k
)
Q
x
(
k
)
，
其
中
：
Q
=
I
，
P
=
P
T
V(x(k))=x^T(k)Px(k)，\Delta{V}(x(k))=-x^T(k)Qx(k)，其中：Q=I，P=P^T
V(x(k))=xT(k)Px(k)，ΔV(x(k))=−xT(k)Qx(k)，其中：Q=I，P=PT
代入离散李雅普诺夫方程：
Φ
T
P
Φ
−
P
=
−
Q
\Phi^TP\Phi-P=-Q
ΦTPΦ−P=−Q
即
[
a
0
1
0
1
2
0
−
1
0
]
[
p
11
p
12
p
13
p
12
p
22
p
23
p
13
p
23
p
33
]
[
a
0
0
0
1
−
1
1
2
0
]
−
[
p
11
p
12
p
13
p
12
p
22
p
23
p
13
p
23
p
33
]
=
[
−
1
0
0
0
−
1
0
0
0
−
1
]
\begin{bmatrix} a & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13}\\ p_{12} & p_{22} & p_{23}\\ p_{13} & p_{23} & p_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13}\\ p_{12} & p_{22} & p_{23}\\ p_{13} & p_{23} & p_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
⎣⎡a0001−1120⎦⎤⎣⎡p11p12p13p12p22p23p13p23p33⎦⎤⎣⎡a010120−10⎦⎤−⎣⎡p11p12p13p12p22p23p13p23p33⎦⎤=⎣⎡−1000−1000−1⎦⎤
解得：
p
33
=
−
7
8
<
0
，
p
22
=
−
15
8
<
0
p_{33}=-\displaystyle\frac{7}{8}<0，p_{22}=-\displaystyle\frac{15}{8}<0
p33=−87<0，p22=−815<0，因此无论
a
a
a如何选取，系统都不能渐近稳定。
Example 9.40
已知电网络如下图所示，列写电网络中以电流 i ( t ) i(t) i(t)为输入，电容 C 1 、 C 2 C_1、C_2 C1、C2上的端电压 v C 1 、 v C 2 v_{C1}、v_{C2} vC1、vC2为输出的动态方程。
解：
由于
{
i
(
t
)
=
i
3
(
t
)
+
C
2
d
v
C
2
(
t
)
d
t
+
i
2
(
t
)
i
2
(
t
)
=
C
1
d
v
C
1
(
t
)
d
t
+
i
1
(
t
)
L
1
d
i
1
(
t
)
d
t
=
v
C
1
(
t
)
L
2
d
i
2
(
t
)
d
t
=
v
C
2
(
t
)
−
v
C
1
(
t
)
L
3
d
i
3
(
t
)
d
t
=
v
C
2
(
t
)
\begin{cases} &i(t)=i_3(t)+C_2\displaystyle\frac{{\rm d}v_{C_2}(t)}{{\rm d}t}+i_2(t)\\\\ &i_2(t)=C_1\displaystyle\frac{{\rm d}v_{C_1}(t)}{{\rm d}t}+i_1(t)\\\\ &L_1\displaystyle\frac{{\rm d}i_1(t)}{{\rm d}t}=v_{C_1}(t)\\\\ &L_2\displaystyle\frac{{\rm d}i_2(t)}{{\rm d}t}=v_{C_2}(t)-v_{C_1}(t)\\\\ &L_3\displaystyle\frac{{\rm d}i_3(t)}{{\rm d}t}=v_{C_2}(t) \end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧i(t)=i3(t)+C2dtdvC2(t)+i2(t)i2(t)=C1dtdvC1(t)+i1(t)L1dtdi1(t)=vC1(t)L2dtdi2(t)=vC2(t)−vC1(t)L3dtdi3(t)=vC2(t)
分别取
x
1
=
v
C
1
，
x
2
=
v
C
2
，
x
3
=
i
1
，
x
4
=
i
2
，
x
5
=
i
3
，
i
=
u
，
y
1
=
v
C
1
，
y
2
=
v
C
2
x_1=v_{C_1}，x_2=v_{C_2}，x_3=i_1，x_4=i_2，x_5=i_3，i=u，y_1=v_{C_1}，y_2=v_{C_2}
x1=vC1，x2=vC2，x3=i1，x4=i2，x5=i3，i=u，y1=vC1，y2=vC2时，动态方程的状态和输出表达式为：
x
˙
=
[
0
0
−
1
C
1
1
C
1
0
0
0
0
−
1
C
2
−
1
C
2
1
L
1
0
0
0
0
−
1
L
2
1
L
2
0
0
0
0
1
L
3
0
0
0
]
x
+
[
0
1
C
2
0
0
0
]
u
，
y
=
[
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
]
x
\begin{aligned} &\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -\displaystyle\frac{1}{C_1} & \displaystyle\frac{1}{C_1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & -\displaystyle\frac{1}{C_2} & -\displaystyle\frac{1}{C_2}\\ \displaystyle\frac{1}{L_1} & 0 & 0 & 0 & 0\\ -\displaystyle\frac{1}{L_2} & \displaystyle\frac{1}{L_2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \displaystyle\frac{1}{L_3} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ \displaystyle\frac{1}{C_2}\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}u，y=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}x \end{aligned}
x˙=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡00L11−L210000L21L31−C110000C11−C210000−C21000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤x+⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0C21000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤u，y=[1001000000]x
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