有向图的拓扑序列

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，点的编号是 $1$ 到 $n$，图中可能存在重边和自环。

请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 −1。

若一个由图中所有点构成的序列 $A$ 满足：对于图中的每条边 $(x,y)$，$x$ 在 $A$ 中都出现在 $y$ 之前，则称 $A$ 是该图的一个拓扑序列。

输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边 $(x,y)$。

输出格式
共一行，如果存在拓扑序列，则输出任意一个合法的拓扑序列即可。

否则输出 −1。

数据范围
$1\le n,m\le 10^5$

输入样例：

3 3
1 2
2 3
1 3

输出样例：

1 2 3

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前言

• 只有有向图才可能存在拓扑序列，无向图没这个概念。
• 如果有向图中存在一个环，那必定不可能拓扑序列，因为定义不了起点和终点。
• 拓扑序列如果有，可能不唯一。

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具体分析

这里偷个懒吧hh，图片、简介引用一下该博主的文章：拓扑排序−−思路介绍+图解模拟+详细代码注释。

再说说自己的理解：

其中，提到了一个删边的思路，那么为什么可以这么做又为什么是对的呢？
其实可以这么理解，不知道大家在学习《数据结构》的这一章时是否看到过一个用 “拓扑排序安排课程顺序” 的例子（如下图所示），大概之意就是有些课会存在先修课，然后先修课也可能还会有先修课… …，必须要学了先修课后才能往后学，然后给出一个课程学习顺序可以合理地学完所有课程，其实就是上面题意给具象化了一下。那么“删边”在这个例子里面意味着什么呢？其实就意味着 “该门课的一门先选课已经学了，不用再考虑它们之间的关系了”。如果所有课的先修课都能被忽略掉就说明所有课学完了，正好对应上了要求。

所以将那些没有入度（先修课）的点作为拓扑序的起点，将它们先存到队列里，然后往后挨着取队头并对连接在它后面的那些点做删边操作，如果此时碰到了后面的某个点的入度 = 0，说明它也可以做为新的起点，将其也入到队列里边。

最后如果所有点都入过一遍队列里即队列的大小为$n$的话，说明整个图就存在一个拓扑序列，具体的序列就是入队的顺序。否则就是不存在拓扑序列。

这里的队列用到的是模拟队列，好处是对于点的出队并不会真正地将其删除，而是移动指针，那么最后想要输出入队顺序其实也就是从0到队尾tt枚举输出q[]数组的元素值。

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Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int q[N], hh = 0, tt = -1;       //模拟队列
int n, m;
int e[N], ne[N], h[N], d[N], idx = 0;       //d[]是存入度的

void add(int a, int b){		//邻接表
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool top_sort(){
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        if(d[i] == 0)
            q[++ tt] = i;       //把入度为0的点作为起点入队
            
    while(hh <= tt){
        int t = q[hh ++];
        for(int i = h[t]; ~i ;i = ne[i]){       //用其扩展
            int j = e[i];
            d[j] --;
            if(d[j] == 0)       //作为新的一个起点
                q[++ tt] = j;
        }
    }
    
    return tt == n - 1;     //说明此时的所有点都可以入队
}

int main(){
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    ios :: sync_with_stdio(false);
    while(m --){
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        add(u, v);
        d[v] ++;
    }
    
    if(top_sort()){
        for(int i = 0;i <= tt;i ++)
            cout << q[i] << " ";
    }
    else{
        cout << -1 << endl;
    }
    
    return 0;
}