1 Approxmation, Regularization and Relaxation

在算法理论研究中，为了使得降低问题的求解复杂度，常常会选择牺牲算法的选择求解精度，这种方法称为近似算法（approxmate algorithm）。典型地，在负载均衡（load balancing）问题中，穷举法的复杂度是指数级别的，而贪心求解得到的调度方案不会超过最优解的两倍，进一步地，若先对任务负载降序排列再进行贪心分配，算法近似程度将会进一步提升到最优解的 $1.5$ 倍。另一种算法近似思路是使得算法以尽可能大的概率输出精确解，即能够应对绝大多数的输入，在极少场景翻车，这在密码学中更为常见，如安全哈希算法的设计，使得在绝大多数情况下不会出现碰撞即为理论安全。理想难寻，多数时候不完美才是完美。

在运筹学研究中，整数规划是难以快速求解的问题，通过对整数约束进行松弛（relax）转化为连续型约束，求解到问题最优解的上界，再设法逼近最优。在一些特殊的情况下，松弛得到的规划与原先的整数规划具有相同的解，如在网络流问题的最大流规划中，由于约束矩阵是单模的（unimodular），可以证明由单模矩阵产生的线性规划的解一定都是整数解，这是很好的性质。所以，放下才能看到更好的未来。

在机器学习与统计回归中，或出于降低模型参数复杂性的考量，或避免训练数据产生过拟合的，常常会使用正则化（regularization）方法向损失或目标中添加正则项，降低模型在训练数据上的拟合程度，而使得模型具备更好的延展性。理想难寻，多数时候不完美才是完美。

人生正是如此，我们总是无法寻求到那精确的最优解，因为它不是一个单目标的规划，我们总是需要在多任务间权衡得失。遗憾的是，人总是难以逃脱感性的束缚，太多放不下的遗憾，他们总是会陷入局部最优的陷阱。

学会接受遗憾，自己选的路，不一定要走得多漂亮，重要的是要坚持走完，哪怕是爬到终点。

赛前风波

扬马的备赛其实不算充分（因为这周确实太忙），就赛前训练强度和训练效果而言，都不如锡马好。但毕竟是主场作战，有对路线进行详细勘查，而且没有锡马前的数日失眠，精神状态养得很好，我始终相信自己有打开1小时35分的硬实力，尤其在经历了锡马的失常发挥（1小时42分7秒）后，我对这次主场作战抱有极高的期望。

痛点始于清明节训练崴伤左脚（外侧左脚踝下方足弓），虽然不严重但完全不能跑，建议是要休息一周，可是16日就要比赛，哪能休息这么久？于是仅在寝室休整一天，4月7日就进行腿部力量训练，8日休整，从9日到13日连续进行5天高强度体能训练，并无不适，我以为自己真的好了。

转折点在13日晚上例训（也是赛前最后一练），与嘉伟冲了个7000米（4’05"配速），感觉状态完全找到了，东哥让我们最后进行7圈变速，这时突然发现自己左脚又疼了，同一个位置，完全跑不了，跟清明节那天如出一辙。我突然就很懊丧，14日回扬州时一路上走路左脚依然隐隐作痛，当时感觉扬马可能真的悬了。

我没有敢跟老妈说，她要是知道了肯定不同意我去参赛，昨天（15日）休整一天感觉又好了不少，晚饭后尝试性地出去照着比赛路线慢慢跑了6km，很不幸，还是疼了，洗完澡拼命地在床上按摩左脚，希望能够快快好起来，可哪有这样的好事？赛前的最后一夜，我竟还是失眠了。

于是打开B站，刷到了很喜欢、但一直没有关注的UP主黑影儿tv最新发布的视频波士顿马拉松之旅（一）：启程。（波士顿马拉松也是在今天，不过那是马拉松比赛的最高殿堂）

喜欢是因为我和他很像，我们都是码农，也都热爱跑步，也如他所说的那样，不是一个很开朗的人，容易钻牛角尖，容易因为很小的事情过度焦虑和恐惧，
没有关注同样是因为我和他很像，所以不愿意去照这面镜子而不可避免地看到自己的缺陷。

在这部视频中，他说的一句话深深地触动了我：

我为了这一天等了十年。…。总之现在每过一秒钟，我每写出一个字，我都离那里（波士顿）更近一些。我曾想过无数种可能，最终在成田机场我突然想明白了，得到的最终奥义就是一切顺其自然。这次波士顿之前我没有担心过成绩，也不在意成绩，唯一担心的就是会不会出现各种意外（伤病），我有想过无论如何都将抵达终点，但走到了这一步，意外已经不重要了，重要的是有这些年我的努力，有家属的支持，有父母的担心，有你们的陪伴。

深有共鸣的我倍受触动，最后还是安然入睡了。

惨痛的主场之战

今早（16日）七点抵达起点，心情十分平静，完全没有锡马那时的兴奋感，可能是因为这已经是第二场比赛，没有第一次的新鲜感，不过更多还是内心的沉重。热身慢跑时我发现左脚还是隐隐作痛，我已经预想到要么弃赛，要么以废掉左脚的代价强行完赛。然而主场作战的我似乎别无选择，我必须要完赛。

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（左图为全程配速表，15km后断档式的下滑，右图为热身时摆拍，我当时已经预料到自己可能要出意外，比赛时应该是抓拍不到冲刺镜头了）

从事后老爸好不容易抓拍到的照片来看，我的前半段跑得极其狰狞，咬牙切齿，面部代偿得可怕，因为从起跑后没多久左脚的刺痛感就开始爆发，一路上始终在强忍疼痛，3km处上下文昌大桥那段疼到了极点，后面又慢慢能褪去一些，但尽管如此，前半段我还是尽力保持了4’20"以内的预定配速。

直到11km进瘦西湖，那段可怕的平山堂东路彻底磨灭了我的意志，高坡度的连续上下坡，左脚每跑一步都是极其强烈的刺痛，快15km时出瘦西湖后的一个补给站，我说服自己停下来休息一下（以前我跑半马是不会补给的，从来是一口气跑完），可是这一停，我就再也没能跑起来。

疼痛就是这样，你凭借意志坚持抵抗还是可以勉强忍受，但是一旦松懈，刺痛感就会无限放大，以至于再也不能重新构建起新的意志继续扛住。

释然的痛苦之路

刚停下来的时候是1小时12分钟，最终我一瘸一拐走过终点线时是2小时12分钟，这一个小时，烈日直晒的扬子江路，气温高达25℃，因为是赛程后半段，而且还是柏油路，体感估摸着有30℃，这近7km的痛苦之路（下图路线图左侧的一条垂直线），是我有生以来最刻骨铭心的一段经历。

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起初我依然挣扎着想跑起来，我算了下如果按照5分配速跑，还是有机会跑进1小时40分钟。但是很快我就发现自己错了，我根本不能连续跑动，不要说大步流星地前掌跑，就是想前脚掌垫着走都极其困难。眼睁睁地看着一个又一个的人从身后超过我，却无能为力。

我这三年多的跑步生涯可能只跑崩过一两次，但是这次在烈日暴晒下，我第一次感受到了绝望——终点还有好远好远，如果每一公里都要走接近10分钟（事实上此时走路的话连10分配速都走不到），甚至无法在2小时以内完赛，这对我来说是无法接受的。但是就此放弃我也无法接受，所以我还是一步一瘸地往前走。

直到我看到一队推着轮椅超过我的爷爷们：

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我有记得他们，出发没多久我就超过了他们，我当时很震惊，因为锡马没有见到过推轮椅参赛的选手，但是又觉得他们应该不会推完全程，因为瘦西湖里有好几座桥坡度特别大，他们是很难过得去的。此时他们从我身后超过的时候，我突然觉得好振奋，别人腿都站不起来了还在努力，你还能继续走为什么不能走到底呢？

可是，可是我是为了跑出成绩而来的，这是我的主场，我日思夜想地想在这里pb，我每日都会抽出时间坚持训练，怎么能跟其他这些不严肃的跑者相提并论呢？

每个人的追求都不一样，2022年澳大利亚黄金海岸马拉松赛，拼命三郎川内优辉在新冠确诊痊愈后迎来了首场全程马拉松赛，但遗憾的是，因在5公里处意外遭遇肌肉拉伤，川内优辉最终只以3小时57分39秒完赛，要知道川内优辉的正常水平一定是在2小时15分钟以内，这个成绩甚至在业余跑者里都只能算是中下。对于大多数追求奖金的精英跑者来说，如果肌肉拉伤，肯定会选择退赛，没必要赌上自己的职业生涯去搏这么个小赛，或许是因为合约在身，但这一定也有个人追求的成分在里面，事实上川内优辉确实也很少退赛。

所以永远不要用自己的标准去衡量他人，这是极其自负和不尊重的体现，应当尊重每一种生活方式，在你没有彻底了解他人之前。

我突然就想开了，既然pb无望，那就慢慢走吧，看一看不一样的风景。

一路上也有不少跟我一样停下来走的人，或许只是跑不动，或许也是伤了。我听到小朋友在说跑起来呀，不要走，我礼貌地对他们笑了笑，老头子我不是不想跑，是真的跑不了了。不过也有人是看出我是脚伤了，让我到医疗站休息一下，我说我还是一定要走完全程的。一路上，我开启了自助模式，每个补给点都要吃喝不少东西，饮料很甜，豆沙面包很好吃，黄瓜香蕉也来了几根，吸水海绵捏着还挺舒服，这都是以前我没有试过的（因为以前从不补给）。

此外，一路看到两个昏迷晕倒过去的人，其中一个还是B组的年轻男子，实力肯定很强，应该是被扬州这大热天给干倒了。路对面持续有救护车呼啸而过，后来听说终点处不少人因为冲刺而昏倒过去，实在是太不理智了。其实也没必要那么拼命，慢慢走也并非坏事。

18km处，右小腿根处开始肿痛，此时我整个人已经完全不能很好地保持平衡的向前走，其实到这里我还是有想过要放弃的，但是我知道爸妈还在前面等我，而且时间也已经远远超过了预期，我身上没有带手机（我跑步的宗旨就是带越少的东西越好，自从佳明表到货，我就再没有跑步带过手机），无法联系他们告诉我的现状，所以我还是只能继续向前。

从之前的配速表可以看到，最后的一小时里，隔一段时间我依然还是想试着跑一跑，但无一例外都失败了。直到终点拱门前几百米处，我想最后最后冲一次，因为这是跑者的仪式感，至少，至少让我在终点处完成一次冲线可以吗？可是不能，我依然还是跑不起来，我只能蹒跚地走向终点，时间定格在了2:12:29。

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当我走过终点线的那一刻，我的眼睛一下子就湿润了，没有任何矫情的意思，我真的情不自禁地哭了两下，很快就收住了怕被别人看到。作为一场我期待已久的主场作战，这无疑是失败的，但是这场比赛我真的真的已经尽我所能，最后这一小时，我从挣扎，到绝望，到疑惑，再到释然，最后一刻我感动了自己。至少这次扬马我问心无愧，失败不可怕，明年再战就是了。