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五、逻辑回归

1. 逻辑回归

接下来我们要讲的是关于分类的算法，可以大致分为两个部分，首先要讲的是第一个部分只有两个标签的分类，后面我们会讲到第二部分多标签的分类。

只有两个标签的分类应该很好理解，无非就是将两个类别放在计算机中就变成了判断0和1，0我们就称为负样本（Negative Class）,而1我们就称为正样本（Positive Class）。

下面我们举个例子，用线性回归来进行分类，看看效果如何。

我们可以看到，通过输入样本，计算机就会自动拟合出一条曲线，阈值在0.5的地方，这样看起来效果似乎不错，但是有没有想过，如果有个样本特立独行远离了这些“大群体”，那这条曲线会受到什么影响。

可以看到，整条曲线因为一个样本，与原有曲线相差甚大，所以我们一般不会用线性回归进行分类，不光是因为上面这个例子，它还有一个让人琢磨不透的地方就是，即使你输入的样本都是0或1，它的预测值竟然会大于1或者小于0。基于上面这些问题，接下来的主角就登场了，下面将会用到Logistic回归去进行分类。

名字看起来是用来解决关于回归的问题，但实际上它是一种分类算法，这是因为一些历史原因所致。

逻辑回归（Logistic Regression）模型

这个模型所用的函数是Sigmoid function（Logistic function），而Sigmoid funciton得到的的结果都会分布在0和1之间，公式如下：

下面我将给出这个模型的解释。

我们可以假设h_θ(x)代表输入值是x且y=1的概率，上面就是一个例子，可以看到输入x₁后，h_θ(x)=0.7即当x1输入后，有70％的概率是恶性肿瘤。

并且我们还有一点需要注意，P(y = 1|x;θ)代表的意思是在x的情况下，参数是θ且y=1的概率。

我们再对上面进行一下小结，我们可以设定一个规则，当h_θ(x)≥0.5时，y=1，并且通过图像观察可以得到θ^Tx≥0；相反当h_θ(x)<0.5时，y=0,并且可以得到θ^Tx<0。

2. 决策界限

决策边界（Decision Boundary）

这个决策边界就是上图的那条红线，用来划分y=1和y=0的界限，由g中的函数公式得到，上面例子得到的边界是线性的。

但是如果特征变多了，决策边界就不像一条直线那么简单，它可能就是非线性的曲线了，就如下面这个例子：

小结

决策边界与之前的线性回归不同，它的曲线并不是由给出的数据集所决定，而是当θ给出后，它就已经决定了。

3. 代价函数

在做完上面的铺垫后，这节课要讲的就是在其他条件都给定的情况下，如何得到θ值。

Logistic回归代价函数

从这个公式可以看出，代价函数中当y=1和当y=0时的式子不太一样，我们先来看当y=1时的情况。

你会发现在y=1的情况下，当h_θ(x)等于1时cost为0，这就是我们想得到的结果，反过来当h_θ(x)为0时，cost根本得不到值，并且h_θ(x)趋近于0时，cost会非常的大从而被排除，所以就能得到到h_θ(x)=0时y不可能为1的结果。接下来再来看看当y=0时的情况。

从图中可以看到，y=0的图像与y=1的图像对称，所以得到的结论也是完全相反，即当h_θ(x)=0时，cost为0是最小的，而当h_θ(x)等于1时，cost同样也取不到，h_θ(x)趋向1时cost也会变得非常的大从而被排除，所以就能得到h_θ(x)=1时y不可能为0的结果。

从上面来看，我们就能理解为什么当y=0时h_θ(x)<0.5而当y=1时h_θ(x)≥0.5了。

接下来，我将为你介绍如何去简化上面代价函数的式子，如下：

你可以将y=0和y=1的情况带入式子，就可以得到一个整合的式子，我们可以验证一下，当把y=1和y=0分别带入这个式子可以得到两个式子，跟上面提到的两个式子完全相同，因为y和1-y总有一边会消为0。

所以弄清楚其中原理后，我们就要像之前一样，要去找到θ的最优值即当J(θ)最小时候的θ。

而我们现在又可以用到梯度下降的算法来计算θ的最优值。

将式子带入，化简之后得：

到这里你可能会有疑问，这不是跟之前线性回归的梯度下降公式一毛一样吗，但实际上并不是，因为logistic回归的假设函数h(θ)与线性回归的完全不一样，所以带入式子会得到两个不一样的结果。但是因为两者都是用到了梯度下降算法，所以两者的特征值如果相差过大，都可以用特征缩放来缩小特征值，从而使梯度下降收敛更快。

小结

logistic回归是一种非常强大，甚至是全世界运用最广泛的一种分类算法。

4. 高级优化

上面我们是通过给到θ然后计算J(θ)以及它对θ的偏导数值然后带入梯度下降的算法得到最优值，但是当数据变得非常多时，梯度下降的效率就会大打折扣，所以还有其他更好的算法可以计算θ最优值时收敛的更快，但同时也会更加复杂。

如上面所示，共轭梯度算法（Conjugate gradient）、BFGS和L-BFGS三个算法收敛的速度会更快，而且你不用手动的去计算α，他们会自动计算给出最优α，但是缺点就是太过于复杂。现实中，不用去深入了解这些算法的细节，除非你是数值专家，你只需要知道怎么去用，怎么写代码就够了。

而总结起来就是首先我们要给出θ的值，然后写出代价函数的代码区计算J(θ)与其对θ的偏导数，然后用高级优化算法去得出最优解。

5. 多元分类

接下来我们来讲讲用逻辑回归来进行多分类，下面举几个例子来解释什么是多分类：

你可以将它想象成你有一个邮件，它可以自动的去分到工作、朋友、家人和爱好其中的类别当中，这就是多分类问题，当然你也可以想象成其它例子，就如上面的看病或者天气例子，所以在图像上也会有所不同。

我们就拿三元分类作为例子：

我们可以将三个类别分别设为y=1、y=2和y=3，然后得出三个分类器，每一个拟合器对应着一个类别，分别对每个分类器进行训练，然后测量对应类别的概率。

小结

一对多的分类问题，就是通过对每一个类别训练一个分类器，分别得到不同的h(θ)，这样当输入x的时候，我们就将x分别输入每一个分类器进行计算其概率值，最终h(θ)值最大的那个分类器所对应的类别即是我们要分入的类别。