一、 AVL树的概念
map、multimap、set、multiset 在其文档介绍中可以发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成
O
(
N
)
O(N)
O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差（简称平衡因子，balance factor）的绝对值不超过1（-1/0/1）
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)。
二、AVL树节点的定义
AVL树的节点是三叉链结构：即parent、left和right，它们分别指向当前节点的父节点、左子节点和右子节点。通过这种方式，可以在 O ( 1 ) O(1) O(1)的时间内找到一个节点的父节点、左子节点和右子节点。
namespace AVL
{
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent; //指向父节点的指针
pair<K, V> _kv;
int _bf; // 平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
三、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
插入在左平衡因子-1，插入在右平衡因子+1
是否继续更新的依据：parent所在子树的高度是否变化
-
parent->_bf == 0说明之前parent->_bf是 1 或者 -1 说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新
-
parent->_bf == 1或-1说明之前是parent->_bf = 0，两边一样高，现在插入一边更高了，parent所在子树高度变了，继续往上更新
-
parent->_bf == 2或-2，说明之前parent->_bf == 1或者-1，现在插入严重不平衡，违反规则，就地处理–旋转
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
// 空树直接构建根
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first) // 大了往右边走
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first) // 小了往左边走
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;// 相等不插入
}
}
//开始插入
cur = new Node(kv);// 新插入的节点
// 小的插入左，大的插入右
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;// 三叉链，不要忘记更新父指针
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏
// 此时需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
while (parent) // parent为空，也就更新到根停止
{
// 更新平衡因子
// 新增在左，parent->bf--;
// 新增在右，parent->bf++;
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
//检测平衡因子
if (parent->_bf == 0)
{
break;// 无需继续更新
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// 插入前parent的平衡因子是0，插入后parent的平衡因为为1 或者 - 1 ，说明以parent为根的二叉树
// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// parent的平衡因子为-2/2，违反了AVL树的平衡性
// 需要对以 parent 为根的树进行 旋转 处理
// 旋转
break; // 旋转完成后，原 parent 为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新
}
else
{
assert(false); // 平衡因子异常：绝对值大于2
}
}
return true;
}
四、AVL树的旋转
在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时可通过旋转调整树的结构，使之平衡化。
旋转的目的:
- 让这颗子树左右高度不超过1
- 旋转过程中继续保持是搜索树
- 更新调整孩子节点的平衡因子
- 让这颗子树的高度跟插入前保持一致
根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
- 新节点插入 较高 左 左 左子树的 左 左 左侧—左左：右单旋
在插入前，图中AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树（注意：此处不是左孩子，图中a/b/c是高度为 h 的AVL子树）中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡
要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 60可能是根节点，也可能是子树，如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点，如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
这里举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
h == 0，则a/b/c是空树：
h == 1：
h == 2的情况已经有很多种了，随着h的增加情况会越来越复杂
看图写代码：
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 30的右变成60的左
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr) // 30的右不为空，更新_parent指针
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
// 60变成30的右
parent = subL->_right;
parent->_parent = subL;//不要忘记更新parent的父指针
if (_root == parent) // parent就是根
//if (ppNode == nullptr) //也可以使用这个判断条件
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else // parent是左或右子树
{
// parent是左就把subL链接到左，是右就链接到右
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;// 同样不要忘记更新subL的父指针
}
// 最后更新parent和subL的平衡因子
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
- 新节点插入较高 右 右 右子树的 右 右 右侧—右右：左单旋
左单旋实现及情况考虑可参考右单旋
h == 0的情况：
h == 1：
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
// 60的左变成30的右
parent->_right = subRL;
// 更新subRL的父指针
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
// 30变成60的左
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//if (_root == parent)
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
像下图的情况简单的单旋已经不能正确调整平衡，需要使用双旋（不同轴点的单旋）：
- 新节点插入较高 左 左 左子树的 右 右 右侧—左右：先左单旋再右单旋
a/d是高度为 h 的AVL树
b/c是高度为 h - 1 的AVL树
h == 0：
h == 1：
看图写代码：
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
// 对30左单旋，对90右单旋
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// 最后更新平衡因子
if (bf == 0) // subLR自己是新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1) // 在subLR的左新增
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) // 在subLR的右新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);// 异常处理
}
}
- 新节点插入较高 右 右 右子树的 左 左 左侧—右左：先右单旋再左单旋
h == 0：
h == 1：
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
总结：
假如以 parent 为根的子树不平衡，即 parent 的平衡因子为 2 或者 -2 ，分以下情况考虑:
- parent 的平衡因子为 2，说明 parent 的右子树高，设 parent 的右子树的根为 subR
- 当 subR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋
- 当 subR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋
- parent 的平衡因子为 -2 ，说明 parent 的左子树高，设 parent的左子树的根为 subL
- 当 subL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋
- 当 subL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋
旋转完成后，原 parent 为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
insert 时平衡因子检测的整体代码：
while (parent) // parent为空，也就更新到根停止
{
// 更新平衡因子
// 新增在左，parent->bf--;
// 新增在右，parent->bf++;
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
//检测
if (parent->_bf == 0)
{
break;// 无需继续更新
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// 插入前parent的平衡因子是0，插入后parent的平衡因为为1 或者 - 1 ，说明以parent为根的二叉树
// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// parent的平衡因子为-2/2，违反了AVL树的平衡性
// 需要对以 parent 为根的树进行 旋转 处理
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) // 右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);// 平衡因子异常
}
break; // 旋转完成后，原 parent 为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新
}
else
{
assert(false); // 平衡因子异常：绝对值大于2
}
}
AVL树的整体代码：AVL树的简单模拟实现
五、AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 - 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1（注意节点中如果有平衡因子，还需验证节点的平衡因子是否计算正确
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = Height(root->_left);
int rh = Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
bool IsBalance()
{
return IsBalance(_root);
}
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
std::cout << root->_kv.first << " 平衡因子异常" << std::endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& IsBalance(root->_left)
&& IsBalance(root->_right);
}
六、AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
