64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 $m\ast n$ 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 100

思路：(动态规划)

由于每次只能向下或者向右移动，所以到达任意一个位置，不是从上面到达就是从左边到达，从而比较这两个方向哪个路径最小：

• 定义一个同大小的矩阵 distance，用于存放到达当前位置的路径和
• 第一列和第一行比较特殊，分别只能从上方到达，从左面到达
• 其余位置要比较从左面，从上面到达，哪个路径和最小，就走选哪个

代码：(Java)

public class MinPath {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		
		int [][] grid = {{1,3,1},{1,5,1},{4,2,1}};
		System.out.println(minPathSum(grid));
	}
	public static int minPathSum(int[][] grid) {
		
		int m = grid.length;
		int n = grid[0].length;
		int [][] distance = new int [m][n];
		
		distance[0][0] = grid[0][0];
		
		for(int i = 1; i < m; i++) {
			distance[i][0] = distance[i-1][0] + grid[i][0];
		}
		for(int j = 1; j < n; j++) {
			distance[0][j] = distance[0][j-1] + grid[0][j];
		}
		
		for(int i = 1; i < m; i++) {
			for (int j = 1; j < n; j++) {
				distance[i][j] = Math.min(distance[i-1][j], distance[i][j-1]) + grid[i][j];
			}
		}
		return distance[m-1][n-1];
    }
}

运行结果：

复杂度分析：

时间复杂度 O(M×N) ： 遍历整个 grid矩阵元素。
空间复杂度 O(M×N) ： 需要和原矩阵相同大小的空间。（**改进：**可以直接在原矩阵修改，就不需要额外空间，此时空间复杂度为O(1)。)

注：仅供学习参考！

题目来源：力扣。