算法训练营 day53 动态规划 买卖股票的最佳时机系列2
买卖股票的最佳时机III
123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
- 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
- 第一次持有股票
- 第一次不持有股票
- 第二次持有股票
- 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
- 确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么
dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i] - 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：
dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？
一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
- dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
- 确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
- 举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][] dp = new int[prices.length][5];
if (prices.length == 0) return 0;
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][2] = 0;
dp[0][3] = -prices[0];
dp[0][4] = 0;
for (int i = 1; i <prices.length; i++) {
dp[i][0] = dp[i-1][0];
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
}
return dp[prices.length-1][4];
}
}
买卖股票的最佳时机IV
188. 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣（LeetCode）
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 确定dp数组以及下标的含义
在123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣中，我是定义了一个二维dp数组，本题其实依然可以用一个二维dp数组。
使用二维数组·dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- …
大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。
- 确定递推公式
还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么
dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i] - 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：
dp[i][1] = dp[i - 1][1]
选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么
dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i] - 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：
dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
- dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
- 确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
- 举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int[][] dp = new int[prices.length][2*k+1];
if (prices.length == 0) return 0;
dp[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <=2*k; i+=2) {
dp[0][i] = -prices[0];
dp[0][i+1] = 0;
}
for (int i = 1; i <prices.length ; i++) {
dp[i][0] = dp[i-1][0];
for (int j = 1; j <=2*k; j+=2) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);
dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1],dp[i-1][j]+prices[i]);
}
}
return dp[prices.length-1][2*k];
}
}
