1. 著名无限积公式简述及证明

2. Jules Lissajous 和他的图形(Jules Lissajous and His Figures)

11章 一个著名的公式

The prototype of all infinite processes is repetition. . . .

Our very concept of the infinite derives from the notion

that what has been said or done once can always be

repeated.

(所有无限过程的原型是重复……我们对无限的概念源自曾经所说或做过的概念，总是可以重复。)

——Tobias Dantzig,<< Number: The Language of Science>>(数：科学的语言)

1. 著名无限积公式简述及证明

我们还没有完全理解函数(sin x)/x。有一天，浏览一本数学公式手册，我遇到了如下的等式：

$\frac{sinx}{x} = cos(\frac{x}{2}). cos(\frac{x}{4}). cos(\frac{x}{8})...$ 。---------------------------------(1)

因为我以前从未见过这个公式，所以我预计证明会相当困难。令我惊讶的是，它原来非常简单:

$sinx = 2sin\frac{x}{2}. cos\frac{x}{2} = 4sin\frac{x}{4}. cos\frac{x}{4}. cos\frac{x}{2} = 8sin\frac{x}{8}. cos\frac{x}{8}. cos\frac{x}{4}. cos\frac{x}{2} = ...$

重复这个过程n次之后，我们得到

$sinx = 2^{n} sin\frac{x}{2^n} . cos\frac{x}{2^n} ..... cos\frac{x}{2}$ 。

我们将式子改写一下,其中，x≠0，得到

$sinx = x.(\frac{ \frac{sinx}{2n}}{ \frac{x}{2n}}) . cos\frac{x}{2}. cos\frac{x}{4}. ... . cos\frac{x}{2^{n}}$ 。

请注意，我们已经颠倒了(因为仍是有限的)乘积中剩余项的顺序。假如我们现在保持x不变，而n->∞，则 $x/2^{n} ->0$ , 而方括号中的表达式，符合sin α/α公式的形式，趋近于1。因此，我们得到

$sin(x) = \prod_{n=1}^{\infty }cos\frac{x}{2^{n}}$

其中，Π表示乘积。两边除以x，我们得到等式(1)。

方程(1)由Euler[1]发现，代表了初等数学中无限乘积(infinite product)的极少数例子之一。因为等式对于所有x值都成立(如果我们定义sin 0/0 = 1的话，则也包括x = 0)，我们可以代入一个值，比如，x = π/2：

$\frac{sin(\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2}} = cos\frac{\pi}{4}. cos\frac{\pi}{8}. cos\frac{\pi}{16}. ....$

现在， $sin(\pi/2) = 1$ 以及 $cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ 。对剩余的项使用半角公式 $cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$ ，稍微简化之后，我们得到

$\frac{2}{\pi} =\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}....,$

这个漂亮的公式是由Vi`ete在1953年发现的；在建立它时，他使用了一个几何论证，该论证基于同一圆内接的 n 条边和 2n 条边的正多边形的面积比。[2] Vi`ete的公式标志着数学史上的一个里程碑：它是第一次将无限过程明确地写成一系列代数运算。(直到那时，数学家们都小心翼翼地避免直接提及无限过程，而是将它们视为可以重复任意多次的有限连续操作。) 通过在他的乘积末尾添加三个点， Vi`ete大胆地宣布无限是数学的真正组成部分。这标志着现代意义上的数学分析的开始。

除了其美妙之外，Vi`ete公式的著名之处还在于，它允许我们通过反复使用算术的四个基本运算——加法、乘法、除法和开方(square root extraction)，去求得数π的值——所有的运算都是应用到数2上。甚至可以通过最简单的科学计算实现：

(在某些计算器上，内存操作STO,RCL,以及SUM分别标为M,RM和M+)。每一次迭代，你都可以通过以上所示的键排列中，按x键并松开之后迅速按1/x键，从而读出当前计算所得的π的近似值；在第九轮迭代之后，我们得到了π的一个近似值3.1415914——精确到小数点后5位的值。当然，可编程计算器会大大加快速度。

从收敛的角度考察等式(1)是有启动性的(instructive)。我们注意到，首先，部分乘积的收敛对于它们的极限值而言是单调的(monotonic)；也就是说，每增加一项，我们就更接近极限。这是因为每一项都是小于1的数，导致部分乘积的值不断递减。这对sinx/x而言，其与无限级数(infinite series)形成鲜明的对比：

$\frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+-...,-------------------(2)$

其自顶向下交替接近其极限值。此外，尽管在某种程度上它比级数收敛慢一些，它的收敛速度也非常快。下表5对比了x = π/2时等式(1)和等式(2)的收敛速率：

表5

注意：所有的数字都四舍五入到小数点后四位。

无穷乘积快速收敛的原因可以从图68中看出。在单位圆上，我们用角度θ/2，(θ/2 + θ/4)，(θ/2 + θ/4 + θ/8)，等等，划分出半径。这些角组成了一个无限几何级数，其和为θ/2 + θ/4 + θ/8 + ... = θ 。现在，以x轴开始，我们从一条半径向下一条半径依次作垂直投影。这些垂直投影的长度依次为1，cos(θ/2)，cos(θ/2). cos(θ/4) ，cos(θ/2). cos(θ/4). cos(θ/8)，如此等等。仅经过几步之后，我们就可以看出，投影值就与其最终值几乎没有区别。

图68 无穷乘积 $sin(x) = \prod_{n=1}^{\infty }cos\frac{x}{2^{n}}$ 的收敛性

遵循每个三角恒等式都可以几何解释的原则，我们现在问我们可以赋予等式(1)什么几何意义。答案如图 69 所示。我们以圆心位于坐标原点半径为 $r_{0}$ 的圆开始。从x轴开始，我们标出一个角θ , 它的另一边与圆相切于 $P_{0}$ 点，现在我们将 $P_{0}$ 点和 $P_{1}$ 点连接起来， $P_{1}$ 点的坐标为( $r_{0}$ ，0), 用 $r_{1}$ 标识线段 $P_{0}P_{1}$ 。角 $OP_{1}P_{0}$ 的顶点位于通过 $P_{1}$ 且与角θ对应同一段弧的圆的圆上，其角大小等于θ/2。对角 $OP_{1}P_{0}$ 应用正弦法则，我们有

$\frac{r_{0}}{sin(\theta/2)}=\frac{r_{1}}{sin(180^{\circ}-\theta)} ------------------------(3)$

但是，sin(180°- θ) = sin(θ) = 2sin(θ/2)cos(θ/2)；将这个等式代入等式(3)并对 $r_{1}$ 解方程，我们得到

$r_{1} = 2r_{0}cos(\theta/2)$ 。

我们现在以 $P_{1}$ 为圆心为 $r_{1}$ 半径画出第二个圆。我们有 $\angle OP_{2} P_{0}=\theta/4$ ，重复画第一个圆的这些步骤直到完成，并应用正弦法则到三角形 $P_{1}P_{2}P_{0}$ , 得到 $r_{2}=2r_{1}cos(\theta/4)=4r_{0}cos(\theta/2)cos(\theta/4)$ ，其中 $r_2 = P_2 P_0$ 。重复这个过程n次，我们得到以 $P_{n}$ 为圆心 $r_{n}=P_{n}P_{0}$ 为半径的圆。解方程得

$r_{n} = 2^{n} r_{0}cos(\theta/2)cos(\theta/4) cos(\theta/8)... cos(\theta/2^{n})------------(4)$

现在 $\angle OP_{n} P_0 = \theta/2^{n}$ ，因此，应用正弦法则到三角形 $OP_{n}P_{0}$ 得到 $r_{0}/sin(\theta/2^{n})=r_{n}/sin(180^{\circ}-\theta)$ ；因此，

$r_{n} = \frac{r_{0} sin\theta)}{sin(\theta/2^{n})}------------------------(5)$

在(4)和(5)之间消除掉 $r_{0}$ 和 $r_{n}$ ，我们得到

$\frac{sin(\theta)}{sin(\theta/2^{n})} = 2^{n} cos(\theta/2)cos(\theta/4)... cos(\theta/2^{n}) ----------(6)$

随着n无限制地增加， $\angle OP_{n}P_{0}$ 无限趋近于0, 因此与其正弦值没有区别；换句话说，半径为 $r_{n}$ 的弧，趋近于从 $P_{0}$ 到x轴的垂线。则，用 $\theta/2^{n}$ 替换掉 $sin(\theta/2^{n})$ 并消除掉因子 $2^{n}$ ，用x替换掉θ，我们得到等式(1)。

因此，等式(1)是以下定理的三角表现形式，即内接于圆的角等于对向同一圆弧的圆心角的二分之一，一次又一次地重复，得到越来越小的角内接于越来越大的圆中。[3]

图69 公式 $\prod_{n=1}^{\infty }cos(x)/2^{n} = \frac{sin(x)}{x}$ 的几何证明

注释与资料来源：

(本章节基于我的文章“A Remarkable Trigonometric Identity(一个著名的三角桓等式)”)，Mathematics Teacher(数学教师杂志),卷70，编号5(1997年5月)，第452-455页。

1. E. W. Hobson，<<Squaring the Circle: A History of the Problem>>(化圆为方：这个问题的历史), (Cambridge,England: Cambridge University Press, 1913),第26页。

2. 参见Petr Beckmann，<< A History of π>>(一段π的历史)( Boulder, Colo.: Golem Press,1977)。

3. 上述文章给出了基于物理考虑的等式(1)的证明。

2. Jules Lissajous 和他的图形(Jules Lissajous and His Figures)

Jules Antoine Lissajous (1822–1880)并不是科学史上的巨人，但他的名字通过“Lissajous图形(Lissajous figures)”而为物理专业的学生所熟知——Lissajous图形是两个沿垂直(perpendicular)直线的振动(vibrations)叠加(superimposed)时形成的图案。Lissajous于 1841年进入巴黎高等师范学院，后来成为巴黎 Lyc´ee Saint-Louis 的物理学教授，在那里他研究振动和声音。1855 年，他发明了一种研究复合振动的简单光学方法：他在每个振动物体(例如两个音叉(running forks))上安装一个小镜子，然后将一束光对准其中一个镜子。光束首先被反射到另一个镜子，然后反射到一个大屏幕，在那里它形成了一个二维图案，这是两种振动结合的视觉结果。这个简单的想法——现代示波器的先驱——在Lissajous的时代是一个新奇事物，因为在那之前，对声音的研究完全依赖于听觉过程，即人耳。 Lissajous 确实使“看到声音”成为可能。

设每次振动都是以正弦波表示的简谐运动；令a和b表示振幅， $\omega _{1}$ 和 $\omega_{2}$ 表示角频率(以弧度/秒为单位)， $\phi _{1}$ 和 $\phi _{2}$ 表示相位，t 表示时间。然后我们有

$x = a sin(\omega_{1}t + \phi_{1}),y = b sin(\omega_{2}t + \phi_{2})---------------(1)$

随着时间的推移，点P(其坐标为(x, y))将会绘制一条曲线，其方程可以通过消除(1)中的t而得到。因为这两个方程包含6个参数[1]，曲线除了某些特殊情况外，往往非常复杂。例如，假如 $\omega_1 = \omega_2$ 且 $\phi_{1}=\phi_{2}$ ，我们有

$x = asin(\omega t + \phi) , y = b sin(\omega t + \phi),$

在其中，我们已经去除了参数的下标。为了消除掉这些方等式国的时间t，我们注意到，x / a = y /b，因此，y = (b /a) x ，这是一条直线的方程。类似地，对于 $\omega_1 = \omega_2$ 和相位差π，我们得到直线y = -(b /a) x 。对于ω1 = ω2 和相位差π/2 ,我们得到(取 $\phi_1= 0$ )

x = a sin(ωt)，y = b sin(ωt + π/2) = b cos(ωt ) 。

用a除以第一个等式，用b除以第二个等式，对结果平方再加相，我们得到

$\frac{x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2}=1,$

它表示一个椭圆，其轴沿x轴和y轴(如果再加上条件a=b,则椭圆成了一个圆)。对于任意相伴差而言，曲线将是一个倾斜的(tilted)椭圆，前面的例子是一个特例(直线y =±(b /a) x是一个退化的(degenerate)椭圆)。如果我们让相位差连续变化，椭圆会慢慢改变它的方向和形状，从圆(a = b这种情况) $x^2 + y^2 = 1$ 到直线y =±x穿过然后再返回(图70)。

--------------图70 Lissajous图形，= 的情况------------------------------

假如角频率不相等，则曲线更为复杂。例如，如果 = 2(从音乐上来讲，当两个振动相隔一个八音(an octave apart)时)，我们有

$x = a sin(\omega t),y = b sin(2\omega t + \phi),$

其中我们又去掉下标，并取 $\phi_{1}=0$ 。现在我们获得的这种曲线取决于Φ。对于Φ = π/2,我们有

$x = a sin(\omega t),y = b sin(2\omega t +\pi/2) = b cos(2\omega t )$ 。

使用恒等式 $cos 2u = 1-2sin^{2}u$ 并消除两个方程之间的时间t，得到结果 $y = b[1-2(x/a)^{2}]$ 。该方程表示一条抛物线(parabola)，点 P 沿该抛物线随着时间的推移来回移动。对于Φ的其它值，曲线可能是一种封闭的形状(图71)。

--------------图71 Lissajous图形， $\omega_{2}=2\omega_{1}$ 的情况-----------------------------

另一个观察到的现象也值得一提。只要角频率比率 $\omega_{1}/\omega_{2}$ 是一个比率数，曲线——无论多么复杂——最终都将自我重复，引起运动周期化。[2] 但是，如果 $\omega_{1}/\omega_{2}$ 是一个非比率数，P将永远不会重绘它的路径，导致非周期性的运动。然而，随着时间的推进，曲线将渐渐填满直线x = ±a，y=±b围成的矩形边界(图72)。

--------------图72 Lissajous图形， $\omega_{1}/\omega_{2}$ 是非比率数的情况------------------------------------------

Lissajous 的工作受到同时代人的赞扬，物理学家John Tyndall(1820-1893年)和John William Strutt(1842-1919年)在他们关于声学的经典论文中对此进行了讨论。1873年，他因“美丽的实验”获得了著名的(prestigious)拉卡兹奖(Lacaze Prize)，他的方法在1867年的巴黎万国博览会上展出。但显然太阳底下没有新鲜事：Lissajous的图形早在很久以前就被自学成长的美国科学家Nathaniel Bowditch(1773-1838 年)教授发现了，他于1815年用复摆制造了它们。[3] 该装置的一种变体，其中两个摆的运动结合在一起，并通过附在其中一个摆上的笔在纸上描绘出来钟摆，成为 19 世纪流行的科学演示(图 73)；随后的图形被称为“谐波图(harmonograms)”，它们令人难以置信的多样性总是给观众留下深刻印象(图 74)。[4] Lissajous方法的新颖之处在于它脱离了机械设备，而是依赖于效率更高的光代理。在这方面，他是一个有远见的人，预言了我们的现代电子时代。