数学建模 —— 矩阵的运算（上）

调用函数运算

sum : 求和函数

prod : 求乘积函数(product)

cumsum : 计算累积和(cumulative sum)

diff : 计算差分(difference)

mean : 计算平均值 (average)

median : 计算中位数

mode : 计算众数

var : 计算方差 (variance)

std : 计算标准差 (standard deviation)

min : 求最小值 (minimum value)

max : 求最大值 (maximum value)

调用函数运算

常见的数学运算函数，例如abs,sin,round,log 等。这些函数可以直接应用到矩阵上，所表示的含义是：对矩阵中的每个元素分别运用这些数学运算函数，因此返回的结果也是一个矩阵。下面我们来举几个例子：

除了这些最基础的数学运算函数外，这一小节我们还要学习下表这些使用频率较高的函数，大家需要熟练掌握它们的用法(点击函数名称可以快速跳转到相应的位置):

sum : 求和函数

(1)如果A是一个向量，则sum(A)可以计算A中所有元素的和。

(2)如果A 是一个矩阵，则sum(A,dim)可以计算A矩阵沿维度dim 中所有元素的和。

● dim=1表示沿着行方向进行计算，即计算矩阵每一列的和，返回一个行向量；

● dim=2表示沿着列方向进行计算，即计算矩阵每一行的和，返回一个列向量。

当dim=1时，sum(A,1)可以简写成sum(A)。

(3)计算一个矩阵中所有元素的总和。可以先用一次 sum 函数计算矩阵A 每一列的和，返回一个行向量；然后再用一次 sum 函数计算这个行向量的和；也可以先使用 A(:) 语句把 A 中的所有元素按照线性索引的顺序拼接成一个向量，然后直接计算这个向量的和。

(4)指定如何处理 NaN 值。NaN 指不定值或缺失值(Not a Number)。默认情况下，求和时有一个元素为NaN 值，那么最终的和也为NaN;我们可以在最后加一个输入参数：'omitnan',这样计算时会忽略NaN值。

prod : 求乘积函数(product)

prod 函数的用法和sum 函数的用法相同，它是用来计算乘积的，我们直接来看例子。

cumsum : 计算累积和(cumulative sum)

(1)如果A 是一个向量，则cumsum(A)可以计算向量A 的累积和(累加值)。

(2)如果A 是一个矩阵，则cumsum(A,dim)可以计算A 沿维度 dim 中所有元素的累积和，具体的使用方法和sum函数类似。

(3)也可以在最后加一个输入参数：'omitnan',这样计算时会忽略NaN值。

diff : 计算差分(difference)

差分运算在和时间相关的数据中用的比较多。在原始序列中用下一个数值减去上一个数值可以得到一个新的序列，这个过程就是一阶差分；在一阶差分结果的基础上再进行一次一阶差分，就是二阶差分，举个例子，下表是8年来的体重变化，我们可以计算一阶差分和二阶差分的结果：

diff 函数也可以用在矩阵上面： diff(A,n,dim)表示沿矩阵A 的维度dim 方向上计算差分，当dim=1 时沿着行方向计算，即得到每列的n 阶差分；当dim=2 时沿着列方向计算，即得到每行的n 阶差分。类似的，dim=1时，diff(A,n,1)也可以简写成diff(A,n)。

mean : 计算平均值 (average)

(2)如果A 是一个矩阵，则mean(A,dim)可以计算A 沿维度dim 中所有元素的平均值。

● 当dim=1 时沿着行方向进行计算，即得到每列的平均值；

● 当 dim=2 时沿着列方向进行计算，即得到每行的平均值。

类似的，dim=1时，mean(A,1)也可以简写成mean(A).

(3)也可以在最后加一个输入参数：'omitnan',这样计算时会忽略NaN值。

median : 计算中位数

mode : 计算众数

众数是指一组数据中出现次数最多的数。一组数据可以有多个众数，例如向量[1 3 -1 2 1 3] 中，1和3都出现了两次，它们都是这组数据中的众数。

MATLAB 中可以使用mode 函数计算数据的众数，调用方法也和 mean 函数类似，但是 mode 函数可以有多个返回值。

以计算向量A 的众数为例，直接调用mode(A)会返回A 中出现次数最多的值。如果有多个值以相同的次数出现，mode 函数将返回其中最小的值。

如果A 是一个矩阵，则mode(A,1)或者mode(A)可以沿着行方向进行计算，得到每一列的众数；mode(A,2)可以沿着列方向进行计算，得到每一行的众数，这里的1和2表示维度dim。

注意：使用mode 函数计算众数时会自动忽略NaN 值，我们不能额外添加'omitnan'参数，否则会报错。

现在我们来看 mode 函数有两个返回值的例子，如果A 是一个向量，[M,F]=mode(A) 得到的M表示向量A的众数，F表示众数M在向量A中出现的次数。

上面这个例子中，有两个众数，分别是0和8,它们出现的次数都是3次，此时MATLAB 会返回最小的那个数作为众数。MATLAB 能不能把这些众数都输出呢?

当然可以，我们需要用到mode 函数的第三个返回值：[M,F,C]=mode(A), 这里的C 是一个元胞数组，元胞数组里面有一个列向量，列向量中的每个元素都是向量 A 的众数。(注意，元胞数组(cell array)是使用大括号{ }括起来的，元胞数组里面的元素可以包含不同的数据类型，例如标量、向量、矩阵、字符串等）

命令C{1}可以提取出元胞数组C 中的第一个数据：列向量[0;8]。这个列向量中的元素0 和8都是向量A 的众数。

以上是A 为向量时的情况，如果A 是一个矩阵，mode 函数也可以有两个返回值或三个返回值，后两个返回值代表的含义与A 为向量时类似。我们直接看下面的例子：

M 是一个包含四个元素的行向量，里面第k 个元素表示第k 列的众数，例如第1列的众数为0;如果有多个众数，那么会返回最小的那个值，因此第2列返回的众数为0。

F 也是一个包含四个元素的行向量，它表示M 中的各个众数在其所在列中出现的次数，例如第1列的众数0在第1列出现了2次。

C 是一个大小为1×4的元胞数组，里面的第k 个数据表示第k 列的所有众数。从元胞数组 C 的结果来看，第一个和第四个数据分别为0和4，这说明第1列和第4列都只有一个众数，分别是0和4；C 中第二个数据是一个4行1列的列向量，这说明第2列有四个众数；C 中第三个个数据是一个2行1列的列向量，这说明第3列有两个众数。

我们可以使用大括号索引提取C 中的每个数据：

类似的，我们也可以计算A矩阵每一行的所有众数，结果如下：

var : 计算方差 (variance)

方差是概率论与数理统计里面的知识点，我们先简单回顾一下相关的内容。

先来看个例子：第一组数据是6、8、10、12、14;第二组数据是-10、0、10、20、30。显然两组数据的均值都是10,但第二组数据的离散程度更大一些。

方差就是用来描述这种离散程度的一个统计量，当两组数据的平均值相同时，方差较大的一组数据的离散程度更大。有一个常举的例子：一个射击队要从两名运动员中选拔一名参加比赛，选拔赛上两人各打了10发子弹，在得分均值相差不大的情况下，应选择方差更小的队员。

在现实生活中，我们收集到的数据可分为下面两类：

◇总体数据：所要考察对象的全部个体叫做总体；

◇样本数据：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。根据收集的数据类型的不同，我们计算方差的公式也有所区别。

从上方的计算公式可以看出，总体方差和样本方差在计算时的区别在于分母上是否要减1。

MATLAB中使用var 函数计算方差：

(1)如果A 是一个向量，那么 var(A,w)可以计算A 的方差，当w=0 时，表示计算样本方差，w=1 时表示计算总体方差，另外，var(A,0) 也可以直接简写为var(A)。

(2)如果A 是一个矩阵，则var(A,w,dim) 可以计算矩阵A沿维度dim 上的方差。

● dim=1时表示沿着行方向进行计算，即得到每一列的方差；

● dim=2时表示沿着列方向进行计算，即得到每一行的方差。

当 dim 为 1 时，var(A,w,1) 可以简写为var(A,w);若 w 为0,则可以进一步简写为

var(A),即默认情况下MATLAB会沿行方向计算得到每一列的样本方差。

(3)如果数据中存在NaN 值，可以在var函数的最后加上'omitnan'参数来忽略NaN.

std : 计算标准差 (standard deviation)

标准差是方差的算术平方根，它也是用来反应数据离散程度的一个统计量。那么问题来了，既然有了方差为什么还需要标准差呢?这是因为方差和数据原本的量纲(即单位)是不一致的，对方差的计算公式进行量纲分析容易看出，方差的量纲是原始数据量纲的平方，因此对方差开根号，得到的标准差的量纲和原始数据的量纲一致。

在MATLAB 中，我们可以使用std函数计算样本标准差和总体标准差，它和var函数的使用方法完全相同。