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1.最长递增子序列的个数

1.题目链接

• 最长递增子序列的个数

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2.算法原理详解

• 注意：本题思路和思维方式及用到的方法很值得考究，个人感觉很有含金量，且初见不好理解
• 前置知识：如何在数组中一次遍历就找出最大值出现的次数？
  • x == maxVal：count++
  • x < maxVal：无视
  • x > maxVal：更新最大值，重新计数

    int maxVal = nums[0], count = 1;
    for(int i = 1; i < nums.size(); i++)
    {
    	if(nums[i] == maxVal)
    	{
    		count++;
    	}
    	else if(nums[i] > maxVal)
    	{
    		maxVal = nums[i];
    		count = 1;
    	}
    }
    

• 思路：

  • 确定状态表示 -> dp[i]的含义

    • 以i位置元素为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的个数
    • 本题状态标识还可以继续划分
      • len[i]：以i位置元素为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的"长度"
      • count[i]：以i位置元素为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的"个数"

  • 推导状态转移方程

    • 令j为i前面的任一一个数
      

  • 初始化：vector<int> len(n, 1), count(n, 1)

  • 确定填表顺序：从左往右，两个表一起填

  • 确定返回值：前置知识部分用到的小贪心策略，见代码

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3.代码实现

int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) 
{
    int n = nums.size();
    vector<int> len(n, 1), count(n, 1);

    int retLen = 1, retCount = 1;
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < i; j++)
        {
            if(nums[j] < nums[i])
            {
                if(len[j] + 1 == len[i])
                {
                    count[i] += count[j];
                }
                else if(len[j] + 1 > len[i])
                {
                    len[i] = len[j] + 1;
                    count[i] = count[j];
                }
            }
        }

        if(retLen == len[i])
        {
            retCount += count[i];
        }
        else if(retLen < len[i])
        {
            retLen = len[i];
            retCount = count[i];
        }
    }

    return retCount;
}

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2.最长数对链

1.题目链接

• 最长数对链

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2.算法原理详解

• 预处理：按照第一个元素排序
  • 此时问题就转化成了最长递增子序列了
  • 目的：保证当前位置不存在可以连在它后面的数对的后面的可能
• 思路：

  • 确定状态表示 -> dp[i]的含义

    • 以i位置元素为结尾的所有子序列中，最长的数对链长度

  • 推导状态转移方程
    

  • 初始化：vector<int> dp(n, 1)

  • 确定填表顺序：从左往右

  • 确定返回值：整个dp表里的最大值

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3.代码实现

int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) 
{
    sort(pairs.begin(), pairs.end()); // 预处理

    int n = pairs.size();
    vector<int> dp(n, 1);

    int ret = 1;
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < i; j++)
        {
            if(pairs[j][1] < pairs[i][0])
            {
                dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
            }
        }

        ret = max(ret, dp[i]);
    }

    return ret;
}