第一类切比雪夫多项式简介

Chebyshev多项式是一种非常重要的正交多项式，在逼近理论中有重要应用，第一类切比雪夫多项式的根可用于多项式插值，对弥补龙格现象有很大的帮助。其表达形式为

$$T_n=\cos (n\arccos x)$$

其中$n$为第一类切比雪夫多项式的阶数，在Python中，提供了Chebyshev类类，构造函数为

chebyshev.Chebyshev(coef, domain=None, window=None, symbol='x')

其中coef为系数列表$a_0,a_1,\cdots ,a_n$，表示生成

$$\sum _{i=0}^n{a}_i{T}_i(x)$$

domain表示$x$的定义域，window表示缩放系数，x为自变量符号。

from numpy.polynomial.chebyshev import Chebyshev
t3 = Chebyshev(coef=[4,3,2,1])
print(t3)
# 输出为4.0 + 3.0 T_1(x) + 2.0 T_2(x) + 1.0 T_3(x)

为了对第一类切比雪夫有个直观的认识，可以绘制一下不同阶数的第一类切比雪夫的函数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
for i in range(5):
    c = np.zeros(i+1)
    c[i] = 1
    t = Chebyshev(coef=c, domain=(-5,5))
    xs, ys = t.linspace()
    plt.plot(xs, ys, label=str(i))

plt.legend()
plt.show()

其中h.linspace表示在定义域范围内对多项式进行采样，有一个参数n，表示在定义域范围内等间隔生成n组$x,y$，默认为100。

得图如下

求导和积分

Chebyshev支持简单的符号计算，比如可通过deriv(n)求多项式的n阶导数；通过integ(n)可求n阶积分，示例如下

>>> t3.deriv(1)
Chebyshev([6., 8., 6.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> t3.deriv(2)
Chebyshev([ 8., 24.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> t3.integ(1)
Chebyshev([0.375     , 3.        , 0.5       , 0.33333333, 0.125     ], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

求根和反演

roots可用于求根，而fromroot可根据根来生成切比雪夫多项式

>>> rs = t3.roots()
>>> print(rs)
[-1.29715651+0.j          0.14857825-0.60281258j  0.14857825+0.60281258j]
>>> tNew = t3.fromroots(rs)
>>> print(tNew)
(0.9999999999999998+0j) + (0.749999999999999+0j) T_1(x) +
(0.49999999999999967+0j) T_2(x) + (0.25+0j) T_3(x)

可以发现roots和fromroots并非对称的关系。

拟合

Chebyshev类中同样提供了拟合函数fit，定义为

Chebyshev.fit(x, y, deg, domain=None, rcond=None, full=False, w=None, window=None, symbol='x')

其中domain, window, symbol不必赘述，其中x,y为待拟合多项式；deg为多项式的阶数。rcond表示截止误差。full为False时，只返回拟合系数，否则还返回拟合的标准差等。

>>> t3 = Chebyshev(coef=[4,3,2,1])
>>> xs, ys = p3.linspace()
>>> t3_3 = t3.fit(xs, ys, 3)
>>> print(t3_3)
3.9999999999999987 + 3.0000000000000018 T_1(x) +
1.999999999999999 T_2(x) + 1.0000000000000013 T_3(x)
>>> t3_4 = t3.fit(xs, ys, 4)
>>> print(t3_4)
4.0 + 3.0000000000000004 T_1(x) + 2.0000000000000013 T_2(x) +
1.0000000000000007 T_3(x) + 2.9674017981841603e-15 T_4(x)

可见其拟合效果还是不错的。

degree返回多项式的最高项次数，cutdeg可以对多项式的次数做阶段，例如

>>> t3.degree()
3
>>> t3.cutdeg(2)
Chebyshev([4., 3., 2.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])