0103n阶行列式-行列式-线性代数

news2024/10/1 12:21:08

文章目录

- 一 n阶行列式
- 二三阶行列式
- 三特殊行列式
- 结语

一 n阶行列式

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{vmatrix}$ $n^2$ 个数，取不同行不同列数乘积的和或差，成为n阶行列式，记作 $D_n$

$D_n=\sum(-1)^{\tau(p_1p_2\cdots p_n)}a_{a_1p_1}a_{a_2p_3}\cdots a_{a_np_n}(n!项的和或差)$

$p_1p_2\cdots p_n为1 2 \cdot n$ 的全排列

$D_n=\sum(-1)^{\tau(q_1q_2\cdots q_n)}a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn}(n!项的和或差)$

$q_1q_2\cdots q_n为1 2 \cdot n$ 的全排列

二三阶行列式

三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}=\\ a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{12}a_{22}a_{31}$

三阶行列式对角线法则：三条实线看做是平行于主对角线的连线，三条虚线看做是平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积为正好，虚线上三元素的乘积为负号。

在这里插入图片描述

例计算 $D=\begin{vmatrix}1&2&-4\\-2&2&1\\-3&4&-2\\\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}1&2&-4\\-2&2&1\\-3&4&-2\\\end{vmatrix}=\\ -4-4-6-8+32-24\\ =-14$
例解方程 $\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&x\\4&9&x^2\\\end{vmatrix}=0$
$D=3x^2-9x+4x-2x^2+18-12=\\ x^2-5x+6=0\\ x=2或者x=3$
注：

四阶行列式总共 $4! = 24 项$ ；五阶行列式总共120项……因此对角线法则只适用于二、三阶行列式的计算。
一节行列式 $\begin{vmatrix}-2\end{vmatrix}=-2$

三特殊行列式

例 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{vmatrix}$
$D=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}$
推广： $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&0&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ ,称为上山角行列式。

推广： $\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ ,称为下山角行列式。

特别地： $\begin{vmatrix}a_{11}\\&a_{22}\\&&\cdots\\&&&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ 称为对角行列式。

例： $f(x)=\begin{vmatrix}x&1&1&2\\1&x&1&-1\\3&2&x&1\\1&1&2x&1\end{vmatrix}中x^3$ 的系数
$通过观察有x^3的项只有两项\\ x\cdot x\cdot x\cdot1-x\cdot x\cdot1\cdot 2x=-x^3\\ 所以x^3的系数为-1$

推广： $\begin{vmatrix}0&0&\cdots&a_{1n}\\0&\cdots&a_{2n-1}&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2n-1}\cdots a_{n1}$ 称为反下山角行列式。

推广： $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\cdots&a_{2n-1}&a_{0}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&0&\cdots&0\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2n-1}\cdots a_{n1}$ 称为反上三角行列式。