排列组合（附10道题目及解析）

news2024/12/24 3:07:25

一、认识C,P,A:

A.排列 A(x,y)=(x!)/[(x-y)!]=x×(x-1)×...×(x-y+1)

P.排列 P(x,y)=A(x,y)

C.组合 C(x,y)=A(x,y)÷(y!)=x×(x-1)×...×(x-y+1)/(y!)=(x!)÷{(y!)×[(x-y)!]}

例：C(5,2)=(5×4)÷(2×1)=10

例：A(5,2)=5×4=20

例：P(5,2)=5×4=20

二、特殊情况

C(n,1)=n

C(n,0)=1

C(n,n)=1

C(n,m)=C(n,n-m)

三、题目

T1:由1，1，2，2，3组成不同的三位数有几种？

方法：分类讨论法

1.选择123，有3!=6种排列

1.选择122，有3种排列

1.选择112，有3种排列

1.选择113，有3种排列

1.选择223，有3种排列

6+4×3=18种

答：有18种。

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T2:6个人，两个人组一队，总共组成3队，不区分队伍的编号，不同的组队情况有几种?

方法：直接用C(x,y)

这题有一个坑，就是很多人会以为直接C(6,2)×C(4,2)就行，但是答案却不是90，为什么呢？

举个栗子：1和3一组，2和4一组，5和6一组和 2和4一组，1和3一组，5和6一组是一样的，但在刚才的式子里却被算了两遍。

90÷(3!)就搞定了。

答：有15种。

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T3:5个小朋友并排站成一列，其中有2个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有几种不同的方法?

方法：用A(x,y)，将那对双胞胎和合并成一个人（好奇怪啊），但是注意两个双胞胎的顺序也要考虑。

A(4,4)×A(2,2)=48

答：有48种。

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T4:10个三好学生名额分配到7个班级，每个班级至少有一个名额，一共有几种不同的分配方案?

方法：隔板法。注意是名额，所以用C(x,y)，不用A(x,y)

那不就是C(9,6)嘛！

C(9,6)=C(9,3)=84

答：有84种。

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T5:有5副不同颜色的手套(共10只手套,每副手套左右手各1只)，一次性从中取6只手套,请问恰好能配成两副手套的不同取法有几种?

        C(5,2)*C(3,2)*4=120
        C(5,2)表示5种手套中选2种，左右手都选
        C(3,2)表示剩下的3种手套中选2种，各选1只
        由于每种手套都有左右手两种选择，所以要乘以4（左左，右右，左右，右左）

答：有120种。

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T6:把8个同样的球放在5个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法?
提示:如果8个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子,都只算同一种分法。

        此类问题都可以归结为放球入盒问题，前面做的三好学生名额分配属于球相同，盒不相同
        问题六属于球相同，盒也相同。
        8被分成(2,2,4)与(4,2,2)是同一种分法
        这个问题也被叫做整数拆分问题
        相当于问将8分成小于等于5个数相加的形式，有几种方法，我们根据分成的数的个数分类讨论。
        分成5个数:(1,1,1,1,4)(1,1,1,2,3)(1,1,2,2,2)分成4个数:(1,1,1,5)(1,1,2,4)(1,1,3,3)(1,2,2,3） (2,2,2,2)

        分成3个数:(1,1,6)(1,2,5)(1,3,4)(2,2,4)(2,3,3)
        分成2个数:(1,7)(2,6)(3,5)(4,4)
        分成1个数:8
        一共18种

答：有18种。（这样就行）

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T7:副纸牌除掉大小王有52张牌，四种花色,每种花色13张，假设从这52张牌中随机抽取13张纸牌，则至少几张牌的花色一致？

方法：抽屉原理

太简单了，最少每个花色3张，还剩1张，随机分配，至少4张。*★,°*:.☆(￣▽￣)/$:*.°★* 。答：4张。（完结撒花）

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T8:概率的英文单词是Probability,如果在该单词的所有字母中任意取出一个字母，取到字符b的概率是多少？

更简单，长度为11的单词中有两个b，所以是2/11。没了。

答：是2/11。

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T9:一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，现在从口袋中任取一球，每次取出不放回。连续取两次，问:
(1)取出的两只球都是白球的概率?
(2)取出的两只球至少有一个白球的概率?