可持久化线段树

上面两篇是几年前写的，笔者今日才加以整理，如有错误请见谅。

线段树加上版本就是可持久化线段树。

Problem Intro

给定一个数组，只需要单点修改和单点查询，但要维护版本。

具体说，每一次操作可能从任意版本读取，也可以从任意版本修改。

提交地址可见模板题。

Solution

如图，当插入时可以再拉一条路径作为新的版本，不必再新建一个数组，复杂度 $O(n\times \text{dep})$。

然后考虑访问，对于每一个版本考虑只存储其根结点，后面的点使用动态开点即可。

这就是可持久化线段树（主席树）。其实不算太难。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m, a[26000001];
struct node{
	int l, r, lp, rp, val;
} tree[26000001];
	int cnt = 0, tot = 0, ver[26000001];
		
void save_ver(int rt){
	ver[++tot] = rt;
}
int get_ver(int x){
	return ver[x];
}
			
int build(int l, int r){
	int ind = cnt; cnt++;
	tree[ind].l = l, tree[ind].r = r;
	if(l == r){
		tree[ind].val = a[l];
		return ind;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	tree[ind].lp = build(l, mid);
	tree[ind].rp = build(mid + 1, r);
	return ind;
}
int mod(int x, int y, int k){
	int ind = cnt; cnt++;
	tree[ind].l = tree[x].l, tree[ind].r = tree[x].r;
	if(tree[ind].l == tree[ind].r){
		tree[ind].val = k;
		return ind;
	}
	int mid = (tree[ind].l + tree[ind].r) >> 1;
	tree[ind].lp = tree[x].lp, tree[ind].rp = tree[x].rp;
	if(y <= mid)
		tree[ind].lp = mod(tree[x].lp, y, k);
	else
		tree[ind].rp = mod(tree[x].rp, y, k);
	return ind;
}
int query(int x, int y){
	if(tree[x].l == tree[x].r)
		return tree[x].val;
	int mid = (tree[x].l + tree[x].r) >> 1;
	if(y <= mid)
		return query(tree[x].lp, y);
	else
		return query(tree[x].rp, y);
}
double solve(int testcase, ...){
	
	double used_time = clock();
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", a + i);
	}
	ver[0] = build(1, n);
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int v, op, x, y;
		scanf("%d%d%d", &v, &op, &x);
		if(op == 1){
            scanf("%d", &y);
			save_ver(mod(get_ver(v), x, y));
		}
		else{
		    int curr = query(get_ver(v), x);
			printf("%d\n", curr);
			save_ver(mod(get_ver(v), x, curr));
		}
	}
		
	return clock() - used_time;
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

#ifndef ONLINE_JUDGE
	printf("Solved, used time %.0lfms.\n", solve(1, "local"));
#else
	solve(1, ONLINE_JUDGE);	
#endif
	return 0;
}

About Range Update

这里懒标记是行不通的。

主要介绍一下标记永久化。

大概的意思就是把 lazy 标记存起来，每次统计时加上这个标记就可以了。

代码就不放了，我也没写代码。