动态规划--矩阵链相乘问题

news2024/11/23 4:09:56

明确原始问题A[1:n]：计算矩阵链

所需的最小乘法次数。

（1）是否满足最优子结构，问题的解是否包含子问题的优化解？

若计算A[1:n]的优化顺序在k处断开矩阵链，即A[1:n]=A[1:k]×A[k+1:n],则在A[1:n]的优化顺序中，对应于子问题A[1:k]的解必须是A[1:k]的优化解，对应A[k+1:n]的解必须是A[k+1:n]的优化解。

（2）是否满足重叠子问题？

如A[1:2]计算了2次，保存下来能够节省计算时间；

递归计算时，很多子问题会被重复计算很多次。这也是应用动态规划的特征之一

1.分析优化解的结构

2.递归定义最优解的代价

3.自底向上计算最优代价

沿对角线的方式填表！！先计算m[1,1]对角线，再计算m[1,2]对角线，以此类推，最后得到m[1,4],这就是一个自底向上的过程！

4.利用最优值的信息构造最优解

取得的k为A[i:j]最优次序中的断开位置，也即是加括号的位置，记录到s[i][j]表中。

原始问题为A[1:n]，通过回溯追踪获得A[1:n]最优值时的k值，即可获得所有加括号的位置。

伪代码：

时间复杂度是O(n^3)

例题：

对维数为序列<5, 10, 3, 12, 5, 50, 6>的各矩阵，找出矩阵链乘积的一个最优加全部括号

关键在于计算出两个表格：m[i,j]和 s[i,j] （本题都是6行6列）

i = j 时，m[i,j] = 0，所以m[1,1] = 0, m[2,2] = 0，m[3,3] = 0，m[4,4] = 0， m[5,5] = 0， m[6,6] = 0;

m[1,2] = min{ k=1, m[1,1] + m[2,2] + p0p1p2 = 0+0+5*10*3 } = 150；

m[2,3] = min{ k=2, m[2,2] + m[3,3] + p1p2p3 = 0+0+10*3*12 } = 360;

m[3,4] = min{ k=3, m[3,3] + m[4,4] + p2p3p4 = 0+0+3*12*5 } = 180;

m[4,5] = min{ k=4, m[4,4] + m[5,5] + p3p4p5 = 0+0+12*5*50 } = 3000;

m[5,6] = min{ k=5, m[5,5] + m[6,6] + p4p5p6 = 0+0+5*50*6 } = 1500;

m[1,3] = min{ k=1, m[1,1] + m[2,3] + p0p1p3 = 0+360+600= 960 ;

k=2, m[1,2] + m[3,3] + p0p2p3 = 150+0+5*3*12 = 330} = 330;

m[2,4] = min{ k=2, m[2,2] + m[3,4] + p1p2p4 = 0+180+10*3*5 = 330;

k=3, m[2,3] + m[4,4] + p1p3p4 = 0+360+0+10*12*5=960} = 330;

m[3,5] = min{ k=3, m[3,3] + m[4,5] + p2p3p5 = 0+3000+3*12*50 = 4800;

k=4, m[3,4] + m[5,5] + p2p4p5 = 180+0+3*5*50 = 930} = 930;

m[4,6] = min{ k=4, m[4,4] + m[5,6] + p3p4p6 = 0+1500+12*5*6 = 1860;

k=5, m[4,5] + m[6,6] + p3p5p6 = 3000+0+12*50*6 = 6600} = 1860;

后面以此类推：......