数据结构篇-03：堆实现优先级队列

本文着重在于讲解用 “堆实现优先级队列” 以及优先级队列的应用，在本文所举的例子中，可能使用优先级队列来解并不是最优解法，但是正如我所说的：本文着重在于讲解“堆实现优先级队列”

堆实现优先级队列

堆的主要应用有两个，一个是排序方法[堆排序]，一个是数据结构 [优先级队列]。

我们会发现，人们总是把二叉堆画成一棵二叉树。其实二叉堆在逻辑上就是一种特殊的二叉树，只不过存储在数组里。

比如 arr 是一个字符数组，注意数组的第一个索引 0 空着不用：

为什么索引 0 空着不用？

为了方便计算父节点和子节点的索引，通常会将数组的第一个元素存储在索引1的位置上，而不是索引0。这样可以通过简单的数学计算得到父节点和子节点的索引，而无需进行额外的操作。

具体来说，在该代码中：

根据完全二叉树的性质，如果某个节点的索引为i，则其左子节点的索引为2i，右子节点的索引为2i + 1。

如果索引从1开始，则根节点的索引为1，其左子节点的索引为2，右子节点的索引为3。

如果索引从0开始，则根节点的索引为0，其左子节点的索引为1，右子节点的索引为2。

因此，为了避免对索引的调整和计算，通常会将数组的第一个元素放在索引1的位置上，并从索引1开始使用。这也是为什么在这段代码中索引0不被使用的原因。

请注意，这种索引方式只是约定俗成的一种做法，并非固定规定。在某些情况下，也可以使用索引从0开始的方式实现堆或优先队列。这取决于具体的实现和需求。

构建优先级队列

可以使用最大堆/最小堆来构建优先级队列，当插入或者删除元素的时候，元素会自动排序，这底层的原理就是二叉堆的操作。

当我们使用一个最大堆来实现一个优先级队列时，堆顶元素总是数组中的最大值。这背后就是由[上浮] 和 [下沉] 两个操作来维护堆结构的。

维护堆结构的操作——swim和sink

我们要讲的是最大堆，每个节点都比它的两个子节点大，但是在插入元素和删除元素时，难免破坏堆的性质，这就需要通过这两个操作来恢复堆的性质了。

对于最大堆，会破坏堆性质的有两种情况：

1、如果某个节点 A 比它的子节点（中的一个）小，那么 A 就不配做父节点，应该下去，下面那个更大的节点上来做父节点，这就是对 A 进行下沉。

2、如果某个节点 A 比它的父节点大，那么 A 不应该做子节点，应该把父节点换下来，自己去做父节点，这就是对 A 的上浮。

当然，错位的节点 A 可能要上浮（或下沉）很多次，才能到达正确的位置，恢复堆的性质。所以代码中肯定有一个 while 循环。

上浮操作的实现：

private void swim(int x) {
        // 索引 1 是堆顶
        //判断：x不是堆顶元素且x大于其父结点
        while (x > 1 && less(parent(x), x)) {
           
            // 交换x的父结点与x下标元素
            swap(parent(x), x);
            //将父节点的索引给x，指针指向x
            x = parent(x);
        }
    }

下沉操作的实现：

private void sink(int x) {
        // size 是堆的最后一个索引
        //判断：当x的左节点不是堆底元素时
        while (left(x) <= size) {
            // 先假设左边节点较大
            int max = left(x);
            // 如果右边节点存在，比一下大小
            //判断：右节点不是堆底元素且右节点值大于max的值
            if (right(x) <= size && less(max, right(x)))
                max = right(x);
            // 结点 x 比俩孩子都大，就不必下沉了
            if (less(max, x)) break;
            // 否则，不符合最大堆的结构，下沉 x 结点
            swap(x, max);
            x = max;
        }
    }

数据结构的基本操作——增删查改

增加操作

将元素插到堆的底部，然后上浮到对应位置

public void insert(Key e) {
        size++;
        // 先把新元素加到最后
        pq[size] = e;
        // 然后让它上浮到正确的位置
        swim(size);
    }

删除操作

将要删除的元素与堆底元素对调，然后删除堆底元素。最后维护堆结构

public Key delMax() {
        // 最大堆的堆顶就是最大元素
        Key max = pq[1];
        // 把这个最大元素换到最后，删除之
        swap(1, size);
        pq[size] = null;
        size--;
        // 让 pq[1] 下沉到正确位置
        sink(1);
        return max;
    }

查看操作

查看最大值，直接返回堆顶元素即可

public Key max() {
        return pq[1];
    }

整体代码

public class MaxPQ
        <Key extends Comparable<Key>> {

    /*完全二叉树中的索引下标是可以计算出来的*/
    // 父节点的索引
    int parent(int root) {
        return root / 2;
    }
    // 左孩子的索引
    int left(int root) {
        return root * 2;
    }
    // 右孩子的索引
    int right(int root) {
        return root * 2 + 1;
    }

    // 存储元素的数组
    private Key[] pq;
    // 当前 Priority Queue 中的元素个数
    private int size = 0;

    public MaxPQ(int cap) {
        // 索引 0 不用，所以多分配一个空间
        pq = (Key[]) new Comparable[cap + 1];
       
    }

    /* 返回当前队列中最大元素 */
    public Key max() {
        return pq[1];
    }

    /* 插入元素 e */
    public void insert(Key e) {
        size++;
        // 先把新元素加到最后
        pq[size] = e;
        // 然后让它上浮到正确的位置
        swim(size);
    }

    /* 删除并返回当前队列中最大元素 */
    public Key delMax() {
        // 最大堆的堆顶就是最大元素
        Key max = pq[1];
        // 把这个最大元素换到最后，删除之
        swap(1, size);
        pq[size] = null;
        size--;
        // 让 pq[1] 下沉到正确位置
        sink(1);
        return max;
    }

    /* 上浮第 x 个元素，以维护最大堆性质 */
    private void swim(int x) {
        // 如果浮到堆顶，就不能再上浮了
        //因为是从索引1开始的，所以索引1是堆顶
        //判断：当x不是堆顶且x的父结点小于x时
        while (x > 1 && less(parent(x), x)) {
            // 如果第 x 个元素比上层大
            // 交换数组下标元素
            swap(parent(x), x);
            x = parent(x);
        }
    }

    /* 下沉第 x 个元素，以维护最大堆性质 */
    private void sink(int x) {
        // 如果沉到堆底，就沉不下去了
        while (left(x) <= size) {
            // 先假设左边节点较大
            int max = left(x);
            // 如果右边节点存在，比一下大小
            if (right(x) <= size && less(max, right(x)))
                max = right(x);
            // 结点 x 比俩孩子都大，就不必下沉了
            if (less(max, x)) break;
            // 否则，不符合最大堆的结构，下沉 x 结点
            swap(x, max);
            x = max;
        }
    }

    /* 交换数组的两个元素 */
    private void swap(int i, int j) {
        Key temp = pq[i];
        pq[i] = pq[j];
        pq[j] = temp;
    }

    /* pq[i] 是否比 pq[j] 小？ */
    private boolean less(int i, int j) {
        return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
    }
}

附注1：对<Key extends Comparable<Key>>的解释

        <Key extends Comparable<Key>>是Java的泛型语法。它指示了MaxPQ类使用一个类型参数Key，并且要求这个类型Key必须实现了Comparable<Key>接口。
        Comparable<Key>接口是Java中定义的一个泛型接口，用于比较两个对象的顺序。它要求实现类具有比较自身与其他对象的能力，并返回一个整数值表示它们的相对顺序。
        通过实现Comparable接口，我们可以在堆和优先级队列中比较元素的大小，以维护它们的排序规则。
        在这段代码中，Key作为泛型参数限制了存储在pq数组中的元素类型必须实现Comparable接口，以便能够进行比较操作（例如使用compareTo方法）。这样做可以确保我们能够正确地进行插入、删除和获取最大元素等操作，使得堆和优先级队列能够按照特定的顺序进行排序和处理。

附注2：对“pq = (Key[]) new Comparable[cap + 1]”的解释

在这段代码中，pq = (Key[]) new Comparable[cap + 1];是用来创建一个泛型数组的操作。
首先，我们需要了解在Java中创建泛型数组的限制。由于Java的类型擦除机制，无法直接创建一个具体类型的泛型数组。
因此，我们只能通过创建一个非泛型数组，然后将其转换为泛型数组。
在这段代码中，new Comparable[cap + 1]创建了一个长度为cap + 1的非泛型数组，
并且元素的类型是Comparable接口。这个数组在内存中被分配了空间。
然后，(Key[])表示进行了一个类型转换。
因为我们知道该数组是要存储Key类型的元素，所以我们将其强制转换为泛型数组类型Key[]。
最后，将转换后的泛型数组赋值给变量pq，使得pq引用这个泛型数组。
需要注意的是，在进行强制类型转换时，存在一定的风险。
如果实际存储在数组中的元素类型不符合泛型参数Key的约束条件，可能会导致运行时错误。
因此，在使用该代码时，应确保泛型参数和实际存储的元素类型是匹配的。*/

优先级队列的应用

力扣215. 数组中的第K个最大元素

思路

使用数组构造一个最大堆，然后选出第k大的元素

构建最大堆

    // 构建最大堆
    public void buildMaxHeap(int[] a, int heapSize) {
        for (int i = heapSize / 2; i >= 0; --i) {
            maxHeapify(a, i, heapSize);  // 对每个非叶子节点进行调整，使其满足最大堆的性质
        }
    }

    // 调整以i为根节点的子树，使其满足最大堆的性质
    public void maxHeapify(int[] a, int i, int heapSize) {
        //计算左右节点的下标
        int left = i * 2 + 1, right = i * 2 + 2, largest = i;
        // 下沉操作：比较节点i与其左右子节点的值，找到最大值
        // 先与左节点对比
        if (left < heapSize && a[left] > a[largest]) {
            largest = left;
        }
        // 再与右节点对比
        if (right < heapSize && a[right] > a[largest]) {
            largest = right;
        }
        if (largest != i) {
            swap(a, i, largest);  // 将节点i与最大值节点交换位置
            maxHeapify(a, largest, heapSize);  // 继续向下调整以保持最大堆的性质
        }
    }

    // 交换数组中两个元素的位置
    public void swap(int[] a, int i, int j) {
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }

问题1： “for (int i = heapSize / 2; i >= 0; --i)”是什么意思？

在构建最大堆时，我们只需要对非叶子节点进行调整，而不需要对叶子节点进行调整。这是因为堆的性质决定了，一个完全二叉树的叶子节点已经满足最大堆的条件，即叶子节点的值不会比其父节点更大。

考虑到完全二叉树的特点，具有n/2个节点是非叶子节点，其中n是堆中元素的总数。比如下标为i的元素，其左节点为 2i，右节点为 2i+1，所以对n个节点来说，只能有n/2个节点是非叶子节点。

所以，我们可以从最后一个非叶子节点（索引为n/2 - 1）开始，向前逐个调用maxHeapify方法，将每个节点及其子树调整为最大堆。

由于最大堆的性质要求父节点的值大于或等于其子节点的值，通过逐层向上调整非叶子节点，我们能够确保整个堆都满足最大堆的要求。

因此，在buildMaxHeap方法中，我们只对非叶子节点进行调整，以节省时间

选出第k大的元素

选出第k大的元素的方法是取出堆顶的元素，将其与堆底元素交换，然后缩小堆，重新维护堆结构。就相当于把堆顶的最大元素删除了。

正数第k个元素就是倒数的第 length - k + 1个元素，所以我们将后面length - k + 1个元素与堆顶元素交换即可

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
        int heapSize = nums.length;
        buildMaxHeap(nums, heapSize);  // 构建最大堆
        for (int i = nums.length - 1; i >= nums.length - k + 1; --i) {
            swap(nums, 0, i);  // 将堆顶元素与当前未排序部分的最后一个元素交换
            --heapSize;  // 缩小堆的大小
            maxHeapify(nums, 0, heapSize);  // 调整堆使其继续满足最大堆的性质
        }
        return nums[0];  // 返回第k个最大元素（堆顶元素）
    }

整体代码

class Solution {
    public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
        int heapSize = nums.length;
        buildMaxHeap(nums, heapSize);  // 构建最大堆
        for (int i = nums.length - 1; i >= nums.length - k + 1; --i) {
            swap(nums, 0, i);  // 将堆顶元素与当前未排序部分的最后一个元素交换
            --heapSize;  // 缩小堆的大小
            maxHeapify(nums, 0, heapSize);  // 调整堆使其继续满足最大堆的性质
        }
        return nums[0];  // 返回第k个最大元素（堆顶元素）
    }

    // 构建最大堆
    public void buildMaxHeap(int[] a, int heapSize) {
        for (int i = heapSize / 2; i >= 0; --i) {
            maxHeapify(a, i, heapSize);  // 对每个非叶子节点进行调整，使其满足最大堆的性质
        }
    }

    // 调整以i为根节点的子树，使其满足最大堆的性质
    public void maxHeapify(int[] a, int i, int heapSize) {
        //计算左右节点的下标
        int left = i * 2 + 1, right = i * 2 + 2, largest = i;
        // 下沉操作：比较节点i与其左右子节点的值，找到最大值
        // 先与左节点对比
        if (left < heapSize && a[left] > a[largest]) {
            largest = left;
        }
        // 再与右节点对比
        if (right < heapSize && a[right] > a[largest]) {
            largest = right;
        }
        if (largest != i) {
            swap(a, i, largest);  // 将节点i与最大值节点交换位置
            maxHeapify(a, largest, heapSize);  // 继续向下调整以保持最大堆的性质
        }
    }

    // 交换数组中两个元素的位置
    public void swap(int[] a, int i, int j) {
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}

力扣347. 前 K 个高频元素

使用哈希表记录每个元素与其出现次数的映射关系

构建一个大小为k的小根堆，如果不足k个元素就直接将当前数字加入到堆中

否则判断堆中的最小值是否小于当前数字的出现次数，如果堆中的最小值小于当前数字出现次数，说明目前的堆顶元素不在前k个高频元素中，将其弹出并将当前数字加入到堆中

import java.util.*;

class Solution {
    public int[] topKFrequent(int[] nums, int k) {
        // 统计每个数字出现的次数
        Map<Integer, Integer> counter = new HashMap<>();
        for (int num : nums) {
            counter.put(num, counter.getOrDefault(num, 0) + 1);
        }

        // 定义小根堆，根据数字频率自小到大排序
        Queue<Integer> pq = new PriorityQueue<>(
            (v1, v2) -> counter.get(v1) - counter.get(v2));

        // 遍历数组，维护一个大小为 k 的小根堆：
        // 不足 k 个直接将当前数字加入到堆中；否则判断堆中的最小次数是否小于当前数字的出现次数，
        // 若是，则删掉堆中出现次数最少的一个数字，将当前数字加入堆中。
        for (int num : counter.keySet()) {
            if (pq.size() < k) {
                pq.offer(num);
            } else if (counter.get(pq.peek()) < counter.get(num)) {
                pq.poll();
                pq.offer(num);
            }
        }

        // 构造返回结果
        int[] res = new int[k];
        int idx = 0;
        for (int num : pq) {
            res[idx++] = num;
        }
        return res;
    }
}