文章目录

• • @[toc]
  • • 问题描述
    • 最小生成树的性质
    • • 证明
    • `Prim`算法
    • `Prim`算法的正确性
    • 时间复杂性
    • `Python`实现

个人主页：丷从心

系列专栏：贪心算法

---

问题描述

• 设$G=(V,E)$是无向连通带权图，$E$中每条边$(v,w)$的权为$c[v][w]$
• 如果$G$的一个子图$G^{{}^{\prime }}$是一棵包含$G$的所有顶点的树，则称$G^{{}^{\prime }}$为$G$的生成树
• 生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费，在$G$的所有生成树中，耗费最小的生成树称为$G$的最小生成树

---

最小生成树的性质

• 设$G=(V,E)$是连通带权图，$U$是$V$的真子集，如果$(u,v)\in E$，且$u\in U$，$v\in V-U$，且在所有这样的边中，$(u,v)$的权$c[u][v]$最小，那么一定存在$G$的一棵最小生成树，它以$(u,v)$为其中一条边
• 这个性质有时也称为$MST$性质

证明

• 假设$G$的任何一棵最小生成树都不包含边$(u,v)$，将边$(u,v)$添加到$G$的一棵最小生成树$T$上，将产生含有边$(u,v)$的圈，并且在这个圈上有一条不同于$(u,v)$的边$(u^{{}^{\prime }},v^{{}^{\prime }})$，使得$u^{{}^{\prime }}\in U$，$v^{{}^{\prime }}\in V-U$，如下图所示

• 将边$(u^{{}^{\prime }},v^{{}^{\prime }})$删去，得到$G$的另一棵生成树$T^{{}^{\prime }}$，由于$c[u][v]\le c[u^{{}^{\prime }}][v^{{}^{\prime }}]$，所以$T^{{}^{\prime }}$的耗费$\le T$的耗费，于是$T^{{}^{\prime }}$是一棵含有边$(u,v)$的最小生成树，与假设矛盾

---

Prim算法

• 设$G=(V,E)$是连通带权图， V = {   1 , 2 , ⋯   , n   } V = \set{1 , 2 , \cdots , n} V={1,2,⋯,n}
• 首先置 S = {   1   } S = \set{1} S={1}，然后，只要$S$是$V$的真子集，就做如下贪心选择
• 选取满足条件$i\in S$，$j\in V-S$，且$c[i][j]$最小的边，将边$(i,j)$添加到边集$T$中，并将顶点$j$添加到$S$中
• 这个过程一直进行到$S=V$时为止，选取到的所有边恰好构成$G$的一棵最小生成树

---

Prim算法的正确性

• 算法结束时，边集$T$中包含$G$的$n-1$条边，利用最小生成树性质和数学归纳法容易证明，边集$T$始终包含$G$的某棵最小生成树中的边，因此，算法结束时，$T$中的所有边构成$G$的一棵最小生成树

---

时间复杂性

• 对于一个具有$n$个顶点的带权无向图，Prim算法进行二重循环，需要$O(n^2)$时间

---

Python实现

import sys


class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[0 for _ in range(vertices)] for _ in range(vertices)]

    def printMST(self, parent):
        print('边\t\t权')

        for i in range(1, self.V):
            print(f'{parent[i]} - {i}\t{self.graph[i][parent[i]]}')

    def minKey(self, key, mstSet):
        min_val = sys.maxsize
        min_index = None

        for v in range(self.V):
            if key[v] < min_val and not mstSet[v]:
                min_val = key[v]
                min_index = v

        return min_index

    def primMST(self):
        key = [sys.maxsize] * self.V
        parent = [None] * self.V
        mstSet = [False] * self.V

        key[0] = 0
        parent[0] = -1

        for _ in range(self.V):
            u = self.minKey(key, mstSet)

            mstSet[u] = True

            for v in range(self.V):
                if self.graph[u][v] > 0 and not mstSet[v] and self.graph[u][v] < key[v]:
                    key[v] = self.graph[u][v]
                    parent[v] = u

        self.printMST(parent)


g = Graph(5)

g.graph = [
    [0, 2, 0, 6, 0],
    [2, 0, 3, 8, 5],
    [0, 3, 0, 0, 7],
    [6, 8, 0, 0, 9],
    [0, 5, 7, 9, 0],
]

g.primMST()

边		权
0 - 1	2
1 - 2	3
0 - 3	6
1 - 4	5

---