Lebesgue积分及应用

一、Lebesgue测度和可测函数

1.1 Riemann积分和Lebesgue积分

Riemann（黎曼）积分，即我们在高等数学/微积分等课程中学习的定积分。但是Riemann积分存在一定的局限与不足，于是上世纪初，法国数学家Lebesgue提出了Lebesgue积分。

Riemann积分主要存在的局限性有：1.可以处理的函数要求函数要是连续函数或分段连续函数 2.极限符号与积分符号交换次序时，需要满足一致性条件，而这个条件往往不容易满足 3.重积分化成累次积分、累次积分交换次序等也需要满足一些条件才能使用。

针对Riemann积分的缺陷，产生了Lebesgue积分。其大致思想如下：

设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的有界函数，(既然Riemann积分是在定义域上作分化，对函数的连续性要求过于苛刻)，那么Lebesgue积分就在值域上作分化。即设：¹
$$\mu =\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x),\lambda =\underset{x\in [a,b]}{\inf }f(x)$$
取 $[\lambda ,\mu ]$ 的一个分化，使
$$\lambda =y_0<y_1<y_2<\cdots <y_n=\mu$$
对于 $i=1,2,\cdots ,n$，任取 ${\eta }_i\in [y_{i-1},y_i]$，并令 E i = { x ∣ f ( x ) ∈ [ y i − 1 , y i ] } E_i=\{x|f(x)\in[y_{i-1},y_i]\} Ei​={x∣f(x)∈[yi−1​,yi​]}，若 $E_i$ 的“长度”可以测量出来，记为 $m{E}_i$，则可做和式
$$\sum _{i=1}^n{\eta }_{i}m{E}_i$$
当分化无限细的时候，记 $\delta ={\max }_{1\le i\le n}(y_i-y_{i-1})$，即当 $n\to \infty ,\delta \to 0$ 时，若上述和式的极限存在，则称 $f$ 是Lebesgue可积的，其极限值就是 $f$ 的 Lebesgue积分。

Lebesgue曾经形象的描述过Lebesgue积分：

• 想象一位零售商，他在每天营业结束以后汇总营业收入，如果他依次累加每笔收入：10美元、10美分、25美分……，那么他相当于从左至右跨越区间[a,b]提取函数值，这就是Riemann积分。
• 如果这位零售商采用另一种方法，按照每笔款的面值统计，比如10美元50笔，10美分30笔，25美分50笔，这样累加起来就是Lebesgue积分。

根据以上Lebesgue积分的基本思想，会带来几个问题：

1. 怎样定义长度 $m{E}_i$ ？
2. 是否所有集合 $E_i$ 在所定义的“长度”下都是可以测量的？
3. 什么样的函数 $f$ 才能保证上述分化产生的 $E_i$ 的“长度”可测，即可测集和测度的问题。

1.2 直线上的Lebesgue测度

【定义】外测度（Outer Measure）

设 $E\subset \mathbb{R}$，定义
m ∗ E = inf ⁡ { ∑ n ∣ I n ∣ ∣ ⋃ n I n ⊃ E , { I n }  是开区间列 } m^*E=\inf\left\{ \sum_n|I_n|\left|\bigcup_nI_n\supset E,\{I_n\}\text{ 是开区间列} \right. \right\} m∗E=inf{n∑​∣In​∣ ​n⋃​In​⊃E,{In​} 是开区间列}
称 $m^{\ast }E$ 是 $E$ 的外测度

由于 ${\sum }_n|I_n|$ 是正的，所以必有下界；空集的外测度是0；开区间的外测度就是区间的长度；$E$ 无界的时候，$m^{\ast }E$ 的也可能是 $\infty$

$m^{\ast }$ 是一种单目运算符号

【定理】外测度的性质

设 $E,F,E_k(k\in {\mathbb{Z}}_{+})$ 均为 $\mathbb{R}$ 中的集合，$m^{\ast }$ 为外测度，则

• 非负性：$m^{\ast }E>0$，$m^{\ast }\varnothing =0$
• 单调性：若 $E\subset F$，则 $m^{\ast }E\le m^{\ast }F$
• 次可列可加性：

$$m^{\ast }\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }{E}_k\right)\le \sum _{k=1}^{\infty }{m}^{\ast }{E}_k$$

• 分离集的可加性：设 D ( E , F ) = inf ⁡ { ∣ x − y ∣ ∣ x ∈ E , y ∈ F } > 0 D(E,F)=\inf\{|x-y|\mid x\in E,y\in F \}>0 D(E,F)=inf{∣x−y∣∣x∈E,y∈F}>0，则

$$m^{\ast }(E\cup F)=m^{\ast }E+m^{\ast }F$$

【定义】内测度

设 $I$ 为一有界闭区间，$E\subset I$，令
m ∗ E = sup ⁡ { ∣ I n ∣ − ∑ n ∣ I n ∣ ∣ I − ⋃ n I n ⊂ E , { I n }  是开区间列 } m_*E=\sup\left\{|I_n| -\sum_n|I_n|\left|I-\bigcup_nI_n\subset E,\{I_n\}\text{ 是开区间列} \right. \right\} m∗​E=sup{∣In​∣−n∑​∣In​∣ ​I−n⋃​In​⊂E,{In​} 是开区间列}
称 $m_{\ast }E$ 是 $E$ 的内测度

【定义】可测、Lebesgue测度

• 设 $E$ 为有界集，若 $m_{\ast }E=m^{\ast }E$，则称 $E$ 是可测的。若 $E$ 为无界集，则 $E$ 可测是指每个 $E\cap (-n,n)$ 可测（$n\in {\mathbb{Z}}_{+}$）

• 对于可测集 $E$，$m^{\ast }E$ 或 $m_{\ast }E$ 称为 $E$ 的 Lebesgue 测度，记为 $mE$

【定理】卡氏条件（Carathéodory 条件）

设 $E\subset \mathbb{R}$，则 $E$ 可测当且仅当 $\forall F\subset \mathbb{R}$，有
$$m^{\ast }F=m^{\ast }(F\cap E)+m^{\ast }(F-E)$$

【定理】可测集与Lebesgue测度的性质

• $E$ 可测当且仅当 $E^C$ 可测

• 若 $E_1,E_2$ 均可测，则 $E=E_1\cup E_2$ 可测，且若 $E_1\cap E_2=\varnothing$，则对任何集合 $F$
  $$m^{\ast }(F\cap E)=m^{\ast }(F\cap E_1)+m^{\ast }(F\cap E_2)$$
  特别取 $F=E$，则 $mE=m{E}_1+m{E}_2$

• 若 $E_1,E_2$ 均可测，则 $E=E_1\cap E_2$ 可测

• 若 { E k } \{E_k\} {Ek​} 为一系列可测集，则 $E={\bigcup }_{k=1}^{\infty }{E}_k$ 可测。且若 $E_k$ 两两不相交，则有
  $$mE=m(\bigcup _{k=1}^{\infty }{E}_k)=\sum _{k=1}^{\infty }m{E}_k$$
  上式称为测度的可列可加性

• 若 { E k } \{E_k\} {Ek​} 为一系列可测集，即 $E={\bigcap }_{k=1}^{\infty }{E}_k$ 可测

• 若 { E k } \{E_k\} {Ek​} 为一系列渐伸可测集，即 $E_1\subset E_2\subset E_3\subset \cdots \subset E_n\subset \cdots$，则
  $$m\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }{E}_k\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }m{E}_n$$

• 若 { E k } \{E_k\} {Ek​} 为一系列渐缩可测集，即 $E_1\supset E_2\supset E_3\supset \cdots \supset E_n\supset \cdots$，且 $m{E}_1<\infty$，则
  $$m\left(\bigcap _{k=1}^{\infty }{E}_k\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }m{E}_n$$
  最后两个性质称为测度的连续性

1.3 可测函数

【定义】可测函数

设 $f$ 为定义在集合 $E$ 上的函数，若 $\forall a\in \mathbb{R}$，$E(f>a)$ 是可测集，则称 $f$ 是 $E$ 上的可测函数

【定理】可测函数的等价表述

设 $f$ 为定义在集合 $E$ 上的实函数，则下列说法等价

• $f$ 是可测的
• 对 $\forall a\in \mathbb{R}$，$E(f\ge a)$ 可测
• 对 $\forall a,b\in \mathbb{R}$，设 $a<b$，则 $E(a\le f<b)$ 可测

【定理】可测函数的性质

可测函数对一些运算是封闭的，因此是一类很广泛的函数

设 $f,g$ 是 $E$ 上的可测函数，则：

• 对 $\forall \alpha \in \mathbb{R}$，$\alpha f$ 是可测函数
• $f+g$ 是可测函数
• $fg$ 是可测函数
• $g\ne 0$ 时，$f/g$ 是可测函数
• max ⁡ { f , g } \max\{f,g\} max{f,g}， min ⁡ { f , g } \min\{f,g\} min{f,g} 是可测函数

设 { f n } \{f_n\} {fn​} 是 $E$ 上的一列可测函数，$f={\lim }_{n\to \infty }{f}_n$，则 $f$ 也可测

二、Lebesgue积分

2.1 Lebesgue积分的定义

【定义】简单函数

设 $mE<\infty$，称形如
$$\phi (x)=\sum _{k=1}^n{c}_k{\chi }_{E_k}(x)$$
的函数为简单函数，其中 ${\chi }_{E_k}(x)$ 是可测集 $E_k$ 的示性函数，$E_k$ 互不相交，${\bigcup }_{k=1}^n{E}_k=E$

【定理】非负的简单函数对非负的 f 的逼近

设 $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数，则存在一列非负递增的简单函数列
$$0\le {\phi }_1(x)\le {\phi }_2(x)\le \cdots$$
使得 ${\lim }_{n\to \infty }{\phi }_n(x)=f(x)$

【定义】简单函数的积分

设 $mE<\infty$，$\phi (x)$ 是简单函数，则定义 $\phi$ 在 $E$ 上的积分为
$${\int }_E\phi (x)dx=\sum _{k=1}^n{c}_{k}m{E}_k$$

【定理】简单函数及其积分的性质

设 $mE<\infty$，$\phi ，\psi$ 是 $E$ 上的简单函数，则

• 线性性：$\alpha \phi +\beta \psi$ 仍是简单函数，且
  $${\int }_E(\alpha \phi (x)+\beta \psi (x))dx=\alpha {\int }_E\phi (x)dx+\beta {\int }_E\psi (x)dx$$

• 可加性：设 $E_1,E_2,\cdots ,E_l$ 两两不相交，且 $E={\bigcup }_{k=1}^l{E}_k$，则
  $${\int }_E\phi (x)dx=\sum _{k=1}^l{\int }_{E_k}\phi (x)dx$$
  特别记
  $${\phi }_{+}(x)=\{\begin{array}{l}\phi (x),\phi (x)\ge 0\\ 0,\phi (x)<0\end{array}{\phi }_{-}(x)=\{\begin{array}{l}-\phi (x),\phi (x)<0\\ 0,\phi (x)\ge 0\end{array}$$
  则
  $${\int }_E\phi (x)dx={\int }_E{\phi }_{+}(x)dx-{\int }_E{\phi }_{-}(x)dx$$

• 单调性：若 $\phi \le \psi$，则

  $${\int }_E\phi (x)dx\le {\int }_E\psi (x)dx$$

【定义】非负可测函数的积分

设 $mE<\infty$，设 $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数，定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为
$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{0\le \phi \le f}{\sup }{\int }_E\phi (x)dx$$
其中 $\phi$ 是简单函数。当上式右边为有限数，就称 $f$ 在 $E$ 上可积，当右边为 $\infty$ 就称 $f$ 在 $E$ 上的积分为 $\infty$

【定义】非负函数的积分

下面再将积分的定义扩充到一般非负函数

设 $mE<\infty$，设 $f$ 是 $E$ 上的非负函数，定义非负函数
$$f_{+}(x)=\{\begin{array}{l}f(x),f(x)\ge 0\\ 0,f(x)<0\end{array}{f}_{-}(x)=\{\begin{array}{l}-f(x),f(x)<0\\ 0,f(x)\ge 0\end{array}$$
分别称为 $f$ 的正部与负部。

定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为：
$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_E{f}_{+}(x)dx-{\int }_E{f}_{-}(x)dx$$
当上式右边为有限数时，就称 $f$ 在 $E$ 上Lebesgue可积；
当右边两项中有一项为有限数，一项为无穷时，就称 $f$ 在 $E$ 上的Lebesgue积分为 $\infty$；
当右边两项均为无穷时，就称 $f$ 在 $E$ 上Lebesgue不可积；

2.2 Lebesgue积分的性质

【定理】Lebesgue积分的性质

设 $mE<\infty$，设 $f$ 是 $E$ 上的可积函数，则其积分有下列性质：

• 可加性：即设可测集 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$ 两两不相交，$E={\bigcup }_{k=1}^n{E}_k$，则
  $${\int }_{E}f(x)dx=\sum _{k=1}^n{\int }_{E_k}f(x)dx$$

• $\sigma$ 可加性：即设 { E k } \{E_k\} {Ek​} 是一列不交的可测集，$E={\bigcup }_{k=1}^{\infty }{E}_k$，则
  $${\int }_{E}f(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }{\int }_{E_k}f(x)dx$$

• 绝对连续性：即对 $\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，使得对任意可测子集 $e\subset E$，若 $me<\delta$，则
  $$\left|{\int }_{e}f(x)dx\right|<\epsilon$$

【定理】通过极限求积分

通过求极限的方式确定函数的积分比用定义求上确界的方式求积分通常要更为便利

设 $mE<\infty$，设 $f$ 是 $E$ 上的非负可积函数， { φ n } \{\varphi_n\} {φn​} 为一系列简单函数，满足 ${\phi }_1\le {\phi }_2\le \cdots$，且 ${\lim }_{n\to \infty }{\phi }_n(x)=f(x)$，则
$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{\phi }_n(x)dx$$

【定理】一般可积函数的运算性质

设 $mE<\infty$，设 $f,g$ 是 $E$ 上的可积函数，则：

• 线性性：
  $${\int }_E(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha {\int }_{E}f(x)dx+\beta {\int }_{E}g(x)dx$$

• 单调性：若 $f(x)\le g(x)$，则
  $${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx$$

• 介值性：若 $a\le f(x)\le b$，则

$$amE\le {\int }_{E}f(x)dx\le bmE$$

• 若在 $E$ 上 $f=g(a.e.)$²，则
  $${\int }_{E}f(x)dx={\int }_{E}g(x)dx$$

2.3 Lebesgue积分的几个重要定理

极限好与积分号换序在前面已经简单讨论过了，本节将这个问题一般化

【定理】求和与积分的换序

设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x),u_n(x)(n\in {\mathbb{Z}}_{+})$ 是 $E$ 上的非负可测函数，则
$${\int }_E\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_E{u}_n(x)dx$$

【定理】Levi 引理

设可测函数列满足 $0\le f_1\le f_2\le \cdots$，${\lim }_{n\to \infty }{f}_n=f$，则
$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx$$

【定理】Fatou 引理

设 $f_n$ 非负可测，则
$${\int }_E\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{k\ge n}{\inf }{f}_k(x)dx\le \underset{n\to \infty }{\lim }\underset{k\ge n}{\inf }{\int }_E{f}_k(x)dx$$

【定理】Lebesgue 控制收敛定理

设 { f n } \{f_n\} {fn​} 为 $E$ 上可测函数列，$f(x)={\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)$，且 $|f_n(x)|\le g(x)$，又 $g(x)$ 在 $E$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，且
$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx$$

【定理】有界收敛定理

设 $mE<\infty$， { f n } \{f_n\} {fn​} 在 $E$ 上可测，且 $|f_n|\le M$，$M$ 为常数，又 ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=f(x)$，则 $f$ 在 $E$ 上可积，且
$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx$$

【定理】Fubini 定理

设 $A\in {\mathbb{R}}^p$，$B\in {\mathbb{R}}^q$ 是两个可测集，$f$ 是 $A\times B$ 上的可测函数，若 $f$ 是 Lebesgue 可积的，则有
$${\int }_{A\times B}f(x,y)dxdy={\int }_{A}dx{\int }_{B}f(x,y)dy={\int }_{B}dy{\int }_{A}f(x,y)dx$$

三、L^P空间（了解即可）

3.1 L^P 空间及函数的收敛性

【定义】收敛

设 $f_n(n\in {\mathbb{Z}}_{+})$，$f$ 均为 $E$ 上的可测函数

• 若 $mE(f_n\nrightarrow f)=0$，就称 $f_n$ 几乎处处(a.e.)²收敛于 $f$
• 若对 $\forall \epsilon >0$，$\lim mE(|f_n-f|>\epsilon )=0$，就称 $f_n$ 依测度收敛于 $f$

【定理】依测度收敛的判断

设 $f_n(n\in {\mathbb{Z}}_{+})$，$f$ 均为 $E$ 上的可测函数，$mE\le \infty$，则

• 若 $f_n$ 几乎处处收敛于 $f$ ，则 $f_n$ 依测度收敛于 $f$
• 若 $f_n$ 是P方收敛于 $f(1\le p<\infty )$，则 $f_n$ 依测度收敛于 $f$

【定理】Riesz 定理

设 $f_n(n\in {\mathbb{Z}}_{+})$，$f$ 是 $E$ 上的可测函数，$mE<\infty$，又 $f_n$ 依测度收敛于 $f$，则存在子列 { f n k } \{f_{nk}\} {fnk​}，使 $f_{nk}$ 几乎处处收敛于 $f$

3.2 L^P 空间的完备性和可分性

【定理】L^P 空间的完备性

$L^P(E)$ 是完备的 $(1\le P<\infty )$

【定理】L^P 空间的可分性

$L^P(E)$ 是可分的

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1. 【sup与inf】sup E 称为数集 E 的上确界（supremum），inf E 称为数集 E 的下确界（infimum）。 ↩︎

2. 【a.e.】 是 “asymptotically equal to” 的缩写，意思是"渐近等于"。 ↩︎ ↩︎