红黑树的概念

红黑树是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加了一个存储位用于表示结点的颜色，这个颜色可以是红色的，也可以是黑色的，因此我们称之为红黑树。

红黑树通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因此红黑树是近似平衡的。

红黑树的性质

红黑树有以下五点性质：

1. 每个结点不是红色就是黑色。
2. 根结点是黑色的。
3. 如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶子结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。
5. 每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指定是空结点）。

红黑树如何确保从根到叶子的最长可能路径不会超过最短可能路径的两倍？

根据红黑树的性质3可以得出，红黑树当中不会出现连续的红色结点，而根据性质4又可以得出，从某一结点到其后代叶子结点的所有路径上包含的黑色结点的数目是相同的。

我们假设在红黑树中，从根到叶子的所有路径上包含的黑色结点的个数都是N个，那么最短路径就是全部由黑色结点构成的路径，即长度为N。

而最长可能路径就是由一黑一红结点构成的路径，该路径当中黑色结点与红色结点的数目相同，即长度为2N。

因此，红黑树从根到叶子的最长可能路径不会超过最短可能路径的两倍。

红黑树结点的定义

我们这里直接实现KV模型的红黑树，为了方便后序的旋转操作，将红黑树的结点定义为三叉链结构，除此之外还新加入了一个成员变量，用于表示结点的颜色。

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	//三叉链
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;

	//存储的键值对
	pair<K, V> _kv;

	//结点的颜色
	int _col; //红/黑

	//构造函数
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED)
	{}
};

在这里我们可以使用枚举来定义结点的颜色，这样可以增加代码的可读性和可维护性，并且便于后序的调试操作。

//枚举定义结点的颜色
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

为什么构造结点时，默认将结点的颜色设置为红色？

当我们向红黑树插入结点时，若我们插入的是黑色结点，那么插入路径上黑色结点的数目就比其他路径上黑色结点的数目多了一个，即破坏了红黑树的性质4，此时我们就需要对红黑树进行调整。

若我们插入红黑树的结点是红色的，此时如果其父结点也是红色的，那么表明出现了连续的红色结点，即破坏了红黑树的性质3，此时我们需要对红黑树进行调整；但如果其父结点是黑色的，那我们就无需对红黑树进行调整，插入后仍满足红黑树的要求。

总结一下：

• 插入黑色结点，一定破坏红黑树的性质4，必须对红黑树进行调整。
• 插入红色结点，可能破坏红黑树的性质3，可能对红黑树进行调整。

权衡利弊后，我们在构造结点进行插入时，默认将结点的颜色设置为红色。

红黑树的插入

红黑树插入结点的逻辑分为三步：

1. 按二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置。
2. 将待插入结点插入到树中。
3. 若插入结点的父结点是红色的，则需要对红黑树进行调整。

其中前两步与二叉搜索树插入结点时的逻辑相同，红黑树的关键在于第三步对红黑树的调整。

红黑树在插入结点后是如何调整的？

实际上，在插入结点后并不是一定会对红黑树进行调整，若插入结点的父结点是黑色的，那么我们就不用对红黑树进行调整，因为本次结点的插入并没有破坏红黑树的五点性质。

只有当插入结点的父结点是红色时才需要对红黑树进行调整，因为我们默认插入的结点就是红色的，如果插入结点的父结点也是红色的，那么此时就出现了连续的红色结点，因此需要对红黑树进行调整。

因为插入结点的父结点是红色的，说明父结点不是根结点（根结点是黑色的），因此插入结点的祖父结点（父结点的父结点）就一定存在。

红黑树调整时具体应该如何调整，主要是看插入结点的叔叔（插入结点的父结点的兄弟结点），根据插入结点叔叔的不同，可将红黑树的调整分为三种情况。

情况一：插入结点的叔叔存在，且叔叔的颜色是红色。

此时为了避免出现连续的红色结点，我们可以将父结点变黑，但为了保持每条路径黑色结点的数目不变，因此我们还需要将祖父结点变红，再将叔叔变黑。这样一来既保持了每条路径黑色结点的数目不变，也解决了连续红色结点的问题。

但调整还没有结束，因为此时祖父结点变成了红色，如果祖父结点是根结点，那我们直接再将祖父结点变成黑色即可，此时相当于每条路径黑色结点的数目都增加了一个。

但如果祖父结点不是根结点的话，我们就需要将祖父结点当作新插入的结点，再判断其父结点是否为红色，若其父结点也是红色，那么又需要根据其叔叔的不同，进而进行不同的调整操作。

因此，情况一的抽象图表示如下：

注意： 叔叔存在且为红时，cur结点是parent的左孩子还是右孩子，调整方法都是一样的。

情况二：插入结点的叔叔存在，且叔叔的颜色是黑色。

这种情况一定是在情况一继续往上调整的过程中出现的，即这种情况下的cur结点一定不是新插入的结点，而是上一次情况一调整过程中的祖父结点，如下图：

我们将路径中祖父结点之上黑色结点的数目设为x，将叔叔结点之下黑色结点的数目设为y，则在插入结点前，图示两条路径黑色结点的数目分别为x+1 和 x+2+y，很明显x+2+y 是一定大于 x+1的，因此在插入结点前就不满足红黑树的要求了，所以说叔叔结点存在且为黑这种情况，一定是由情况一往上调整过程中才会出现的一种情况。

需要注意：

1. 从根结点一直走到空位置就算一条路径，而不是从根结点走到左右结点均为空的叶子结点时才算一条路径。
2. 情况二和情况三均需要进行旋转处理，旋转处理后无需继续往上进行调整，所以说情况二一定是由情况一往上调整的过程中出现的。

出现叔叔存在且为黑时，单纯使用变色已经无法处理了，这时我们需要进行旋转处理。若祖孙三代的关系是直线（cur、parent、grandfather这三个结点为一条直线），则我们需要先进行单旋操作，再进行颜色调整，颜色调整后这棵被旋转子树的根结点是黑色的，因此无需继续往上进行处理。

抽象图表示如下：

说明一下： 当直线关系为，parent是grandfather的右孩子，cur是parent的右孩子时，就需要先进行左单旋操作，再进行颜色调整。

若祖孙三代的关系是折现（cur、parent、grandfather这三个结点为一条折现），则我们需要先进行双旋操作，再进行颜色调整，颜色调整后这棵被旋转子树的根是黑色的，因此无需继续往上进行处理。

抽象图表示如下：

说明一下： 当折现关系为，parent是grandfather的右孩子，cur是parent的左孩子时，就需要先进行右左双旋操作，再进行颜色调整。

情况三：插入结点的叔叔不存在。

在这种情况下的cur结点一定是新插入的结点，而不可能是由情况一变化而来的，因为叔叔不存在说明在parent的下面不可能再挂黑色结点了，如下图：

如果插入前parent下面再挂黑色结点，就会导致图中两条路径黑色结点的数目不相同，而parent是红色的，因此parent下面自然也不能挂红色结点，所以说这种情况下的cur结点一定是新插入的结点。

和情况二一样，若祖孙三代的关系是直线（cur、parent、grandfather这三个结点为一条直线），则我们需要先进行单旋操作，再进行颜色调整，颜色调整后这棵被旋转子树的根结点是黑色的，因此无需继续往上进行处理。

说明一下： 当直线关系为，parent是grandfather的右孩子，cur是parent的右孩子时，就需要先进行左单旋操作，再进行颜色调整。

若祖孙三代的关系是折现（cur、parent、grandfather这三个结点为一条折现），则我们需要先进行双旋操作，再进行颜色调整，颜色调整后这棵被旋转子树的根是黑色的，因此无需继续往上进行处理。

说明一下： 当折现关系为，parent是grandfather的右孩子，cur是parent的左孩子时，就需要先进行右左双旋操作，再进行颜色调整。

//插入函数
pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr) //若红黑树为空树，则插入结点直接作为根结点
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK; //根结点必须是黑色
		return make_pair(_root, true); //插入成功
	}
	//1、按二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (kv.first < cur->_kv.first) //待插入结点的key值小于当前结点的key值
		{
			//往该结点的左子树走
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (kv.first > cur->_kv.first) //待插入结点的key值大于当前结点的key值
		{
			//往该结点的右子树走
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else //待插入结点的key值等于当前结点的key值
		{
			return make_pair(cur, false); //插入失败
		}
	}

	//2、将待插入结点插入到树中
	cur = new Node(kv); //根据所给值构造一个结点
	Node* newnode = cur; //记录新插入的结点（便于后序返回）
	if (kv.first < parent->_kv.first) //新结点的key值小于parent的key值
	{
		//插入到parent的左边
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else //新结点的key值大于parent的key值
	{
		//插入到parent的右边
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	//3、若插入结点的父结点是红色的，则需要对红黑树进行调整
	while (parent&&parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent; //parent是红色，则其父结点一定存在
		if (parent == grandfather->_left) //parent是grandfather的左孩子
		{
			Node* uncle = grandfather->_right; //uncle是grandfather的右孩子
			if (uncle&&uncle->_col == RED) //情况1：uncle存在且为红
			{
				//颜色调整
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				//继续往上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else //情况2+情况3：uncle不存在 + uncle存在且为黑
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					RotateR(grandfather); //右单旋

					//颜色调整
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else //cur == parent->_right
				{
					RotateLR(grandfather); //左右双旋

					//颜色调整
					grandfather->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;
				}
				break; //子树旋转后，该子树的根变成了黑色，无需继续往上进行处理
			}
		}
		else //parent是grandfather的右孩子
		{
			Node* uncle = grandfather->_left; //uncle是grandfather的左孩子
			if (uncle&&uncle->_col == RED) //情况1：uncle存在且为红
			{
				//颜色调整
				uncle->_col = parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				//继续往上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else //情况2+情况3：uncle不存在 + uncle存在且为黑
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					RotateRL(grandfather); //右左双旋

					//颜色调整
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else //cur == parent->_right
				{
					RotateL(grandfather); //左单旋

					//颜色调整
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				break; //子树旋转后，该子树的根变成了黑色，无需继续往上进行处理
			}
		}
	}
	_root->_col = BLACK; //根结点的颜色为黑色（可能被情况一变成了红色，需要变回黑色）
	return make_pair(newnode, true); //插入成功
}

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* parentParent = parent->_parent;

	//建立subRL与parent之间的联系
	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	//建立parent与subR之间的联系
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	//建立subR与parentParent之间的联系
	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = parentParent;
	}
}

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	Node* parentParent = parent->_parent;

	//建立subLR与parent之间的联系
	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	//建立parent与subL之间的联系
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	//建立subL与parentParent之间的联系
	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = parentParent;
	}
}

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
}

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
}

注意： 在红黑树调整后，需要将根结点的颜色变为黑色，因为红黑树的根结点可能在情况一的调整过程中被变成了红色。

红黑树的验证

红黑树也是一种特殊的二叉搜索树，因此我们可以先获取二叉树的中序遍历序列，来判断该二叉树是否满足二叉搜索树的性质。

//中序遍历
void Inorder()
{
	_Inorder(_root);
}
//中序遍历子函数
void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;
	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << " ";
	_Inorder(root->_right);
}

但中序有序只能证明是二叉搜索树，要证明二叉树是红黑树还需验证该二叉树是否满足红黑树的性质。

//判断是否为红黑树
bool ISRBTree()
{
	if (_root == nullptr) //空树是红黑树
	{
		return true;
	}
	if (_root->_col == RED)
	{
		cout << "error：根结点为红色" << endl;
		return false;
	}
	
	//找最左路径作为黑色结点数目的参考值
	Node* cur = _root;
	int BlackCount = 0;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
			BlackCount++;
		cur = cur->_left;
	}

	int count = 0;
	return _ISRBTree(_root, count, BlackCount);
}
//判断是否为红黑树的子函数
bool _ISRBTree(Node* root, int count, int BlackCount)
{
	if (root == nullptr) //该路径已经走完了
	{
		if (count != BlackCount)
		{
			cout << "error：黑色结点的数目不相等" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}

	if (root->_col == RED&&root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << "error：存在连续的红色结点" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_col == BLACK)
	{
		count++;
	}
	return _ISRBTree(root->_left, count, BlackCount) && _ISRBTree(root->_right, count, BlackCount);
}

红黑树的查找

红黑树的查找函数与二叉搜索树的查找方式一模一样，逻辑如下：

1. 若树为空树，则查找失败，返回nullptr。
2. 若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
3. 若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
4. 若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回对应结点。

代码如下：

//查找函数
Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (key < cur->_kv.first) //key值小于该结点的值
		{
			cur = cur->_left; //在该结点的左子树当中查找
		}
		else if (key > cur->_kv.first) //key值大于该结点的值
		{
			cur = cur->_right; //在该结点的右子树当中查找
		}
		else //找到了目标结点
		{
			return cur; //返回该结点
		}
	}
	return nullptr; //查找失败
}

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删查改的时间复杂度都是O ( l o g N ) O(logN)O(logN)，但红黑树和AVL树控制二叉树平衡的方式不同：

• AVL树是通过控制左右高度差不超过1来实现二叉树平衡的，实现的是二叉树的严格平衡。
• 红黑树是通过控制结点的颜色，从而使得红黑树当中最长可能路径不超过最短可能路径的2倍，实现的是近似平衡。

相对于AVL树来说，红黑树降低了插入结点时需要进行的旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，实际运用时也大多用的是红黑树。