力扣第51题 N 皇后 c++ 难~ 回溯题

news2024/12/27 13:06:15

题目

51. N 皇后

困难

思路和解题方法

首先，定义了一个名为 Solution 的类。其中：

ans：成员变量，用于记录所有可行的 N 皇后方案；
backtracking：回溯函数，用来尝试放置 N 个皇后；
isvalid：函数，用于检查当前位置是否可放置皇后；
solveNQueens：主函数，使用回溯法求解 N 皇后问题。

在 backtracking 函数中：

当已经成功放置 N 个皇后时，将当前的棋盘加入答案数组 ans 中。
对于每一行，在第 col 列尝试放置皇后，如果该格子可行，则标记上皇后，继续向下一行进行搜索，搜索完后回溯到上一步位置并取消标记；
搜索过程中，调用函数 isvalid 进行当前位置是否可放的判断。

在 isvalid 函数中：

检查当前列是否已经有皇后；
检查左上方是否已经有皇后；
检查右上方是否已经有皇后；
如果以上均未出现皇后，则说明该位置可放置皇后，返回真。

而在主函数 solveNQueens 中：

清空答案数组 ans，并定义初始棋盘状态 chessboard；
调用回溯函数 backtracking 在 chessboard 中查找所有可行的 N 皇后方案；
返回答案数组 ans。

复杂度

时间复杂度:

O(n!)

算法的时间复杂度为 O(n!)，其中 n 表示棋盘大小。因为每一行只能放置一个皇后，所以在搜索下一行的时候，需要排除已经放置的皇后所在的列和两条对角线上的位置，因此每一行可选的位置数是 n，总的搜索次数是 n×(n−2)×(n−4)×⋯1=n!。

空间复杂度

O(n^2)

算法的空间复杂度是 O(n2)，因为需要使用一个 n×n 的二维数组 chessboard 来存储棋盘状态，同时还需要使用一个二维数组 ans 来存储所有可行的 N 皇后方案。

c++ 代码

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> ans;  // 存储所有可行的 N 皇后方案
    
    void backtracking(int n, int row, vector<string> &chessboard)
    {
        if (row == n)  // 若已成功放置 N 个皇后，将当前棋盘加入答案数组
        {
            ans.push_back(chessboard);
            return;
        }
        
        for (int col = 0; col < n; col++)  // 在当前行的每一列尝试放置皇后
        {
            if (isvalid(row, col, chessboard, n))  // 若当前位置可放置皇后
            {
                chessboard[row][col] = 'Q';  // 放置皇后
                backtracking(n, row + 1, chessboard);  // 继续下一行的搜索
                chessboard[row][col] = '.';  // 回溯到上一步，取消该位置的皇后标记
            }
        }
    }
    
    bool isvalid(int row, int col, vector<string> &chessboard, int n)
    {
        for (int i = 0; i < row; i++)
        {
            if (chessboard[i][col] == 'Q')  // 检查当前列是否已经有皇后
                return false;
        }
        
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--)
        {
            if (chessboard[i][j] == 'Q')  // 检查左上方是否已经有皇后
                return false;
        }
        
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++)
        {
            if (chessboard[i][j] == 'Q')  // 检查右上方是否已经有皇后
                return false;
        }
        
        return true;  // 当前位置可放置皇后
    }

    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        ans.clear();  // 清空答案数组
        vector<string> chessboard(n, string(n, '.'));  // 初始化棋盘
        backtracking(n, 0, chessboard);  // 调用回溯函数开始搜索
        return ans;  // 返回所有可行的 N 皇后方案
    }
};

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