前言

从初中开始，我们就开始用笔在平面直角坐标系上作函数图象。随着对函数研究的不断深入，对作出的函数图象的精准度的要求也越来越高。以往我们只需要描一下点，在将点连起来即可。但用这种方法的话偏差可能会很大，所以我们不妨用一些技巧，使得我们作的函数图象与真实的函数图象尽量接近。

函数作图的技巧

在函数作图之前，我们要考察对函数的图象具有重要意义或影响的因素。函数作图的一般步骤如下：

• 确定函数的定义域
• 判定函数是否有奇偶性、周期性或其他对称性
• 确定函数的增减区间和极值点
• 确定函数的凹凸区间和拐点
• 确定函数的渐近线
• 求出函数在一些点的特殊值
• 根据上述信息绘出函数图象

例题

作函数$f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x}$的图象

解：
$f$的定义域是$(-\infty ,0)\bigcup (0,+\infty ),f(-1)=0$

$$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$$

\qquad 可能的极值点$x_1=-1,x_2=1$

	$(-\infty ,-1)$	$-1$	$(-1,1)$	$1$	$(1,\infty )$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	极大值	$\searrow$	极小值	$\nearrow$

\qquad 单调递增区间：$(-\infty ,-1]$和$[1,+\infty )$，单调递减区间：$[-1,1].$极大值点为$(-1,0)$，极小值点为$(1,4)$

\qquad 可能的拐点：$x=0$

	$(-\infty ,0)$	$0$	$(0,\infty )$
$f^{\prime \prime }(x)$	$-$		$+$
$f(x)$	凸	拐点	凹

\qquad 凸区间：$(-\infty ,0]$，凹区间：$[0,+\infty )$

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty ,\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1,\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-x]=2$

\qquad 所以$f(x)$的竖直渐近线为$x=0$，斜渐近线为$y=x+2$

\qquad 函数图象如下：