Problem J. Prime Game(数学 贡献)[2018-2019 ACM-ICPC, Asia Nanjing Regional Contest]

news2025/2/1 7:01:06

题目如下:

在这里插入图片描述

题解 or 思路

我们可以发现暴力去求解是无法完成的 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
我们可以从贡献出发,计算每一个位置上的质因子所做的贡献

我们可以先通过分解质因子,记录每一个质因子的位置,在这里使用 v e c t o r vector vector 容器会使代码更加简洁方便。

先来一个例子:
3 2 3 3 3 2 2
第一个 2 2 2 的贡献是 2 * 6
第二个 2 2 2 的贡献是 4 * 2

我们可以发现每一个位置的贡献为
i d x 1 ∗ ( n − i d x 1 + 1 ) idx_1 * (n - idx_1 + 1) idx1(nidx1+1) i d x 1 idx_1 idx1为该质因子第一次出现的位置
( i d x i − i d x i − 1 ) ∗ ( n − i d x i + 1 ) (idx_i - idx_{i - 1}) * (n - idx_i + 1) (idxiidxi1)(nidxi+1) i d x i idx_i idxi为非该质因子第一次出现的位置
将所有的贡献相加就是答案!

AC 代码:

#define ll long long
const int N = 1000009;
int n, s[N];
vector<int> g[N];
void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x;  cin >> x;
        for (int j = 2; j * j <= x; j++)
        {
            if (x % j == 0)
            {
                g[j].push_back(i);
                while (x % j == 0)
                    x /= j;
            }
        }
        if (x > 1)
            g[x].push_back(i);
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 2; i <= 1000000; i++)
    {
        if (g[i].size() == 0)
            continue;
        for (int j = 0; j < g[i].size(); j++)
        {
            if (j == 0)
                ans += 1ll * g[i][j] * (n - g[i][j] + 1);
            else
                ans += 1ll * (g[i][j] - g[i][j - 1]) * (n - g[i][j] + 1);
        }
    }
    cout << ans << '\n';
}
int main()
{
    buff;
    solve();
}

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