二分查找

直观思维是对每个袋子进行分球操作，这样枚举似乎无从下手。逆向思维，从 $1$ 开始，枚举袋子里球的最大数量，可以计算划分每个袋子需要的最小次数，通过最小次数之和，判断方案是否可行。由于从小到大枚举，第一个可行的方案就是所求。枚举时间复杂度 $O(m)$ ， $m$ 是初始状态所有袋子里的最大球数，最多枚举到 $m$ ，再往上枚举就没有意义了。二分查找可以优化枚举，时间复杂度 $O(logm)$ 。

对于每个枚举(查找)，需要计算划分次数之和，计算每个袋子的划分次数，需要遍历整个数组，时间复杂度 $O(n)$ ， $n$ 是数组大小。枚举(查找)和遍历数组是乘积关系，总时间复杂度 $O(nlogm)$ 。

提示 : 利用公式(上取整) 计算每个袋子的划分次数。 上取整公式 $=\lceil \frac{x}{mid}-1\rceil =\lfloor \frac{x+mid-1}{mid}-1\rfloor =\lfloor \frac{x-1}{mid}\rfloor$
上取整的含义 : 小球总数为 $x$ 的袋子，划分成若干 小球总数为 $mid$ 的袋子，需要的最小次数。

上取整转化下取整公式有严格证明，建议读者背住。

CPP

class Solution {
public:
    int minimumSize(vector<int>& nums, int maxOperations) {
        int l = 1, r= *max_element(nums.begin(),nums.end());
        while(l<=r){
            int mid = l + (r-l>>1);
            int sum = 0;
            for(auto &x:nums) sum += (x-1)/mid;
            if(sum>maxOperations) l = mid + 1;
            else r = mid - 1;
        }return l;
    }
};

C

int minimumSize(int* nums, int numsSize, int maxOperations){
    int left = 1,right = 0,mid = 0;
    for(int i = 0;i<numsSize;i++){
        if(right<nums[i]){//找到所有桶中最大值
            right = nums[i];//最大值作为右边界
        }
    }
    while(left<=right){
        mid = left + ((right - left)>>1);//以mid为桶的最大值划分
        long long opt = 0;//需要的拆分次数
        for(int i = 0;i<numsSize;i++){
            opt += (nums[i] - 1)/mid;//等于下面三行
            //opt+=nums[i]/mid;//不能整除时,需要的拆分次数
            //if(0==nums[i]%mid)//能整除时，少拆分一次。
            //    opt--;
        }
        if(opt > maxOperations){//操作次数太多了，增加每个桶的最大值，以减少操作次数
            left = mid + 1;//左边界右移
        }else{
            right = mid -1;//右边界左移
        }
    }
    return left;//返回划分后，桶中最大值
}

1. 时间复杂度 : $O(nlogm)$ ， $n$ 是数组长度， $m$ 是数组中的最大值，二分查找，对每个查找遍历数组的时间复杂度 $O(nlogm)$ 。
2. 空间复杂度 : $O(1)$ ， 只使用常量级空间 。

AC

致语

• 二分查找是简单算法，但是要手熟。
• 理解思路很重要！
• 欢迎读者在评论区留言，墨染看到就会回复的。