GAMES103: 基于物理的计算机动画入门
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1. 坐标系的划分
在游戏引擎中分为右手和左手坐标系，区分的依据是什么？
上图可以看到如果是左手坐标系，那么所有的物体都在屏幕后面，意味着x，y，z的值都是正的。
2. Vector Norm
向量的长度就是2-Norm，通常使用Vector Norm来评估向量。
3. 投影
投影的计算，可以看到投影的长度只和两个向量有关系。
在游戏引擎中，通常使用投影推出来的Signed Distance，进行碰撞检测的判断。
4. 叉乘
4.1 三角形的拓扑顺序
叉乘决定了两条边计算的方向，因此在录入三角形的时候，也应该注意三角形边的顺序，也叫做拓扑顺序。
4.2 Signed Areas和Barycentric Weights
对于2维中，叉乘引出的重心插值。
对于3维中，可以通过叉乘计算体积，同时叉乘也有相同的规律。
5. 矩阵的分解
5.1 奇异值分解
矩阵的奇异值分解主要的思想：依据于每一个矩阵都可以通过一个正形进行旋转→缩放→旋转的步骤来得到。
因此U和V都是正交矩阵，用于做旋转操作，而D是对角矩阵，来进行缩放，D中的值也称为奇异值。
5.2 特征值分解
注意：在计算机物理学中，主要讨论对称矩阵的特征值分解。
特征值的思想：针对于每一个“轴”的指定缩放。
5.3 LU分解
LU分解的思想：将任何矩阵都能分解为上三角和下三角矩阵的乘积，主要用于求解Ax=b线性方程。
6. 矩阵正定
矩阵正定的通常判定方法：
（1）判定特征值的正负性
（2）使用对角占优的方法判定正定，注意，对角占优能推出正定，但正定不一定对角占优
（3）正定矩阵必定可逆
7. 迭代法求解线性系统
主要目的：使 b − A x [ k ] b-Ax^{[k]} b−Ax[k] 趋近于0，这要求 1 − 1- 1− α \alpha α A M − 1 AM^{-1} AM−1 的谱半径小于1 ，因此M矩阵的不同对应着不同的迭代方法。
可以把线性系统认为是二次优化问题， α \alpha α通常是需要试错的。
迭代法分为：
（1）Jacobi迭代法
（2）Gauss-Seidel迭代法
（3）超松弛（SOR方法）
注意：迭代法求解以后用到会详细说明。
8. 向量的求导
8.1 普通函数对向量x求一阶导
对向量x求一阶导通常用梯度进行表示，意义是最快的增长方向。
8.2 向量函数对向量x求一阶导
向量函数相当用于就是三个函数拼起来的向量，直接求导即可。
上图中Jacobian是雅可比行列式，Divergence是散度，如果将 ▽ \bigtriangledown ▽也看作是一个算子，那么做叉乘会得到Curl，即旋度。
8.3 普通函数对向量x求二阶导
二阶导，因为普通函数对向量求一阶导一定得到的是一个向量，再次求导相当于在做Jacobian。
Hessian（海森矩阵）仅仅是对一阶导的组合，同样的Hessian矩阵的对角叫做Laplacian（拉普拉斯）。
9. 函数对向量参数的泰勒展开
注意：对于向量的二阶泰勒展开是可以判断正定的，这可以带来很多性质，比如极值等。
10. 对弹簧的受力分析
通过链式法则和物理定律我们能推出弹簧受力时的能量、力和能量的海森矩阵。
10.1 针对于x的Norm的求导
10.2 单方向弹簧受力
10.3 双方向弹簧受力
两个方向都有力时，我们将两端的力组合成一个大向量，以相同方式计算即可。
